ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต, geometric sequence and series

(geometric progression)

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่ $\displaystyle\frac{\text{พจน์ขวา} (a_{n+1})}{\text{พจน์ซ้าย} (a_n)}=r$ เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่

นั่นคือ $\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ เสมอ

ถ้ากำหนดให้ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว

$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\cdots=\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$

ดังนั้นลำดับเรขาคณิต $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$ จะเขียนได้อีกแบบเป็น

$a_1, a_1r, a_1r^2, \ldots, a_1r^{n-1}, a_1r^n, \ldots$

สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ

$a_n=a_1r^{n-1}$

ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต

หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ $a_1 + a_2 = 8 , a_3 + a_4 = 72$

จากสูตร $a_n=a_1r^{n-1}$ เราทราบค่า $a_2=a_1r, a_3=a_1r^2$ และ $a_4=a_1r^3$

ดังนั้น

a_{1} + a_{2} = a_{1} + a_{1} r = 8 \dots (1)

$a_1+a_2=a_1+a_1r=8\quad\cdots(1)$

a_{3} + a_{4} = a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} = 72 \dots (2)

$a_3+a_4=a_1r^2+a_1r^3=72\quad\cdots(2)$

จาก (1) จะได้

a_{1} (1 + r) = 8 \dots (3)

$a_1(1+r)=8\quad\cdots(3)$

และจาก (2) จะได้

a_{1} r^{2} (1 + r) = 72 \dots (4)

$a_1r^2(1+r)=72\quad\cdots(4)$

เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้

\frac{a_{1} r^{2} (1 + r)}{a_{1} (1 + r)} = r^{2} = 9

$\frac{a_1r^2(1+r)}{a_1(1+r)}=r^2=9$

ดังนั้น $r=3, -3$ แต่โจทย์บอกว่า $r$ เป็นบวก เราจึงได้ว่า $r=3$

นำค่า $r=3$ ไปแทนกลับในสมการ (3) เพื่อหาค่า $a_1$ จะได้

a_{1} = \frac{8}{4} = 2

$a_1=\displaystyle\frac{8}{4}=2$

เมื่อเรารู้ค่า $a_1=2$ และ $r=3$ เราจึงสามารถหาค่าของ

$a_1=2, a_2=2\times 3=6, a_3=2\times 3^2=18, a_4=2\times 3^3=54$

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน

ให้ $a_1, a_1r, a_1r^2, \ldots, a_1r^{n-1},\ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้

\begin{array}{rcl} S_{1} & = & a_{1} \\ S_{2} & = & a_{1} + a_{1} r = a_{1} (1 + r) \\ S_{3} & = & a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} = a_{1} (1 + r + r^{2}) \\ ⋮ \\ S_{n} & = & a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + \dots + a_{1} r^{n - 1} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \end{array}

$\begin{eqnarray*} S_1&=& a_1\\ S_2&=& a_1+a_1r=a_1(1+r)\\ S_3&=& a_1+a_1r+a_1r^2=a_1(1+r+r^2)\\ &\vdots&\\ S_n&=&a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \end{eqnarray*}$

สูตรการหาผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} เมื่อ r \neq 1

$S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\text{ เมื่อ } r\ne 1$

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตมีค่า $a_3 = 80$ และ $S_3 = 65$ จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม

จากสูตรของลำดับเรขาคณิต $a_n=a_1r^{n-1}$ และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต $S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}$
ดังนั้นเราจะได้

80 = a_{3} = a_{1} r^{2} \dots (5)

$80=a_3=a_1r^2\quad\cdots (5)$

65 = s_{3} = \frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r} = a_{1} (1 + r + r^{2}) \dots (6)

$65=s_3=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}=a_1(1+r+r^2)\quad\cdots(6)$

นำ (6) หารด้วย (5) จะได้

\frac{(1 + r + r^{2})}{r^{2}} = \frac{a_{1} (1 + r + r^{2})}{a_{1} r^{2}} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}

$\frac{(1+r+r^2)}{r^2}=\frac{a_1(1+r+r^2)}{a_1r^2}=\frac{65}{80}=\frac{13}{16}$

นั่นคือเราจะได้สมการ

3 r^{2} + 16 r + 16 = (3 r + 4) (r + 4) = 0

$3r^2+16r+16=(3r+4)(r+4)=0$

ดังนั้น $r= -4$ หรือ $\displaystyle\frac{-4}{3}$

เมื่อนำค่า $r$ ไปแทนค่าใน (5)

เมื่อ $r=-4$ จะได้ $a_1=5$

เมื่อ $r=\displaystyle\frac{-4}{3}$ จะได้ $a_1=45$

อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต

ถ้าเราต้องการหาค่า $\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^n+\ldots$ เมื่อ $|r|<1$ เราสามารถใช้สูตร

S_{\infty} = lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r}

$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\frac{a_1}{1-r}$

ดังนั้น $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$

ขอย้ำว่า $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้นนะ

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots$

จากโจทย์เราได้ $a_1=\frac{1}{2}$ และจะได้ค่าของ $r=\frac{1}{6}\div\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
นั่นคือ $|r|=\frac{1}{3}<1$ เราจึงใช้สูตร $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ ได้นะครับ

เมื่อแทนค่าในสูตรเราจะได้

\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{3}{2 \times 3^{n}} + \dots & = & (\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots &=&\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

คำคล้าย : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต, geometric sequence and series

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

ติวเข้ม ท้องถิ่น ภาค ก. ทุกวิชา ฟรี! คอร์ส Basic Grammar

คอร์ส KruDew ติวสอบ TOEICⓇ

คอร์ส KruDew ติวสอบ TOEICⓇ เก็งข้อสอบ พร้อมเทคนิคเพียบ อัพคะแนนได้พุ่งพรวด ในเวลาไม่ถึงเดือน!

หนังสือแนะนำ

-66%

แนะนำ

5.0

หนังสือ 1-Minute Quick English เก่งอังกฤษไวใน 1 นาที

ขายได้ 4,976 ชิ้น

฿890 ฿295

แนะนำ NEW!!

5.0

หนังสือ Grammar Detective ไขคดีปริศนา เก่งแกรมมาร์ภาษาอังกฤษ

ขายได้ 615 ชิ้น

฿495 ฿495