ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต (Geometric Progression)


ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่   $\displaystyle\frac{\text{พจน์ขวา}  (a_{n+1})}{\text{พจน์ซ้าย}  (a_n)}=r$ เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่

นั่นคือ $\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ เสมอ

ถ้ากำหนดให้ $a_1, a_2,  a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว

$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\cdots=\frac{a_{n+1}}{a_n}=r $

ดังนั้นลำดับเรขาคณิต $a_1, a_2,  a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots$  จะเขียนได้อีกแบบเป็น

$a_1,  a_1r,  a_1r^2, \ldots,  a_1r^{n-1},  a_1r^n,  \ldots$

สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ

$a_n=a_1r^{n-1}$

ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต  

หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ $a_1 + a_2 = 8 , a_3 + a_4 = 72$

จากสูตร $a_n=a_1r^{n-1}$ เราทราบค่า $a_2=a_1r,  a_3=a_1r^2$ และ $a_4=a_1r^3$

ดังนั้น

$$a_1+a_2=a_1+a_1r=8\quad\cdots(1)$$

$$a_3+a_4=a_1r^2+a_1r^3=72\quad\cdots(2)$$

จาก (1) จะได้$$a_1(1+r)=8\quad\cdots(3)$$

และจาก (2) จะได้$$a_1r^2(1+r)=72\quad\cdots(4)$$

เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้

$$ \frac{a_1r^2(1+r)}{a_1(1+r)}=r^2=9$$

ดังนั้น $r=3, -3$ แต่โจทย์บอกว่า $r$ เป็นบวก   เราจึงได้ว่า $r=3$

นำค่า $r=3$ ไปแทนกลับในสมการ  (3)  เพื่อหาค่า $a_1$ จะได้

$$a_1=\displaystyle\frac{8}{4}=2$$

เมื่อเรารู้ค่า $a_1=2$ และ $r=3$ เราจึงสามารถหาค่าของ

$a_1=2,    a_2=2\times 3=6,   a_3=2\times 3^2=18,    a_4=2\times 3^3=54  $

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน

ให้ $a_1,  a_1r,  a_1r^2, \ldots,  a_1r^{n-1},\ldots$ เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้

$$\begin{eqnarray*}
S_1&=& a_1\\
S_2&=& a_1+a_1r=a_1(1+r)\\
S_3&=& a_1+a_1r+a_1r^2=a_1(1+r+r^2)\\
&\vdots&\\
S_n&=&a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
\end{eqnarray*}$$

สูตรการหาผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ

$$S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\text{     เมื่อ     } r\ne 1$$

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต 

อนุกรมเรขาคณิตมีค่า $a_3 = 80$  และ  $S_3 = 65$  จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม

จากสูตรของลำดับเรขาคณิต $a_n=a_1r^{n-1}$ และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต $S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}$
ดังนั้นเราจะได้

$$80=a_3=a_1r^2\quad\cdots (5)$$

$$65=s_3=\displaystyle\frac{a_1(1-r^3)}{1-r}=a_1(1+r+r^2)\quad\cdots(6)$$

นำ  (6) หารด้วย  (5)  จะได้

$$\frac{(1+r+r^2)}{r^2}=\frac{a_1(1+r+r^2)}{a_1r^2}=\frac{65}{80}=\frac{13}{16}$$

นั่นคือเราจะได้สมการ

$$3r^2+16r+16=(3r+4)(r+4)=0$$

ดังนั้น $r= -4$   หรือ   $\displaystyle\frac{-4}{3}$

เมื่อนำค่า $r$ ไปแทนค่าใน (5)

เมื่อ $r=-4$  จะได้  $a_1=5$

เมื่อ $r=\displaystyle\frac{-4}{3}$  จะได้  $a_1=45$

อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต

ถ้าเราต้องการหาค่า $\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^n+\ldots$ เมื่อ $|r|<1$ เราสามารถใช้สูตร

$$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\frac{a_1}{1-r}$$

ดังนั้น $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$

ขอย้ำว่า $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้นนะ

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots$

จากโจทย์เราได้ $a_1=\frac{1}{2}$ และจะได้ค่าของ $r=\frac{1}{6}\div\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
 นั่นคือ $|r|=\frac{1}{3}<1$ เราจึงใช้สูตร $S_{\infty}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r}$ ได้นะครับ

เมื่อแทนค่าในสูตรเราจะได้

$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\ldots+\frac{3}{2\times 3^n}+\ldots
&=&\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}$$

คำคล้าย: 
  • ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต
  • Geometric Sequence and Series
  • Geometric Progression