เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป (Exponential Property Simplification)


เลขยกกำลัง

กรณีเลขชี้กำลัง $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

$$a^n = \underbrace{a\times a\times a\times a \times \cdots \times a}_{n\text{ ตัว}}$$

กรณีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ เมื่อฐาน $a\neq 0$

$$a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

กรณีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

\begin{eqnarray*}
a^{\frac{1}{n}} & = & \sqrt[n]{a}\\
a^{\frac{m}{n}} & = & \sqrt[n]{a^{m}}
\end{eqnarray*}

สมบัติเลขยกกำลัง

สูตรผลคูณ-ผลหารของเลขยกกำลังฐานเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
a^{m}\cdot a^{n} & = & a^{m+n}\\
\frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m-n}
\end{eqnarray*}

 

สูตรกำลังซ้อนกำลัง

\begin{eqnarray*}
\left(a^{m}\right)^{n} & = & a^{m\times n}\\
a^{m^{n}} & = & a^{\left(m^{n}\right)}
\end{eqnarray*}

กรณีกำลังซ้อนกันสองชั้นขึ้นไปโดยไม่มีวงเล็บ ให้คำนวณจากบนลงล่าง เหมือนกับสูตรที่สอง

สูตรกระจายกำลังเข้าไปในผลคูณ-ผลหาร

\begin{eqnarray*}
\left(a\times b\right)^{n} & = & a^{n}\times b^{n}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^{n} & = & \frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}

สูตรกระจายกำลังเข้าไปในราก

\begin{eqnarray*}
\sqrt[n]{a\times b} & = & \sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}\\
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} & = & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
\end{eqnarray*}

การจัดรูปเลขยกกำลัง

การจัดรูปเลขยกกำลัง มีจุดประสงค์เพื่อจัดให้เลขยกกำลังของเราอยู่ในรูปอย่างง่าย

รูปอย่างง่ายของเลขยกกำลัง หมายถึงเลขยกกำลังที่

  1. เลขชี้กำลังทุกตัวเป็นบวก
  2. รวมเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันเอาไว้ด้วยกัน

ตัวอย่างเช่น

$a^3 b^2$ เป็นรูปอย่างง่าย
$a^3 b^{-2}$ ไม่เป็นรูปอย่างง่าย เนื่องจากมีเลขชี้กำลังติดลบ
$\displaystyle \frac{a^3 b^2}{a^2}$ ไม่เป็นรูปอย่างง่าย เนื่องจากมี $a^3$ และ $a^2$ แยกกันอยู่

ตัวอย่างการจัดรูปเลขยกกำลัง

จงทำ $\displaystyle \left( \frac{x}{y} \right)^3 \left( \frac{y^2 x}{z} \right)^4$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\begin{eqnarray*}
\left( \frac{x}{y} \right)^3 \left( \frac{y^2 x}{z} \right)^4 &=& \left( \frac{x^3}{y^3} \right) \left( \frac{y^8 x^4}{z^4} \right)\\
&=& \frac{x^{3+4} y^{8-3}}{z^4}\\
&=& \frac{x^7 y^5}{z^4}
\end{eqnarray*}

 $\displaystyle \frac{x^7 y^5}{z^4}$

ตัวอย่างการจัดรูปเลขยกกำลัง

จงทำ $\displaystyle \frac{(a^2 b^3)(a b^4)^{-3}}{a^2 b}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\begin{eqnarray*}
\frac{(a^2 b^3)(a b^4)^{-3}}{a^2 b} &=& \frac{a^2 b^3 a^{-3} b^{-12}}{a^2 b}\\
&=& \frac{a^{2 + (-3)} b^{3 + (-12)}}{a^2 b}\\
&=& \frac{a^{-1} b^{-9}}{a^2 b}\\
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า ตัวเศษมีเลขชี้กำลังติดลบ เราจึงนำลงไปรวมกับตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
\frac{a^{-1} b^{-9}}{a^2 b} &=& \frac{1}{a^{2 - (-1)} b^{1 - (-9)}}\\
&=& \frac{1}{a^3 b^{10}}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{1}{a^3 b^{10}}$

คำคล้าย: 
  • เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป
  • สมบัติเอกซ์โพเนนเชียลและการจัดรูป
  • Exponential Property Simplification