เลขยกกำลัง
กรณีเลขชี้กำลัง $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$$a^n = \underbrace{a\times a\times a\times a \times \cdots \times a}_{n\text{ ตัว}}$$
กรณีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ เมื่อฐาน $a\neq 0$
$$a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
กรณีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
\begin{eqnarray*}
a^{\frac{1}{n}} & = & \sqrt[n]{a}\\
a^{\frac{m}{n}} & = & \sqrt[n]{a^{m}}
\end{eqnarray*}
สมบัติเลขยกกำลัง
สูตรผลคูณ-ผลหารของเลขยกกำลังฐานเดียวกัน
\begin{eqnarray*}
a^{m}\cdot a^{n} & = & a^{m+n}\\
\frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m-n}
\end{eqnarray*}
สูตรกำลังซ้อนกำลัง
\begin{eqnarray*}
\left(a^{m}\right)^{n} & = & a^{m\times n}\\
a^{m^{n}} & = & a^{\left(m^{n}\right)}
\end{eqnarray*}
กรณีกำลังซ้อนกันสองชั้นขึ้นไปโดยไม่มีวงเล็บ ให้คำนวณจากบนลงล่าง เหมือนกับสูตรที่สอง
สูตรกระจายกำลังเข้าไปในผลคูณ-ผลหาร
\begin{eqnarray*}
\left(a\times b\right)^{n} & = & a^{n}\times b^{n}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^{n} & = & \frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}
สูตรกระจายกำลังเข้าไปในราก
\begin{eqnarray*}
\sqrt[n]{a\times b} & = & \sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}\\
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} & = & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
\end{eqnarray*}
การจัดรูปเลขยกกำลัง
การจัดรูปเลขยกกำลัง มีจุดประสงค์เพื่อจัดให้เลขยกกำลังของเราอยู่ในรูปอย่างง่าย
รูปอย่างง่ายของเลขยกกำลัง หมายถึงเลขยกกำลังที่
- เลขชี้กำลังทุกตัวเป็นบวก
- รวมเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันเอาไว้ด้วยกัน
ตัวอย่างเช่น
$a^3 b^2$ เป็นรูปอย่างง่าย
$a^3 b^{-2}$ ไม่เป็นรูปอย่างง่าย เนื่องจากมีเลขชี้กำลังติดลบ
$\displaystyle \frac{a^3 b^2}{a^2}$ ไม่เป็นรูปอย่างง่าย เนื่องจากมี $a^3$ และ $a^2$ แยกกันอยู่
ตัวอย่างการจัดรูปเลขยกกำลัง
จงทำ $\displaystyle \left( \frac{x}{y} \right)^3 \left( \frac{y^2 x}{z} \right)^4$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{x}{y} \right)^3 \left( \frac{y^2 x}{z} \right)^4 &=& \left( \frac{x^3}{y^3} \right) \left( \frac{y^8 x^4}{z^4} \right)\\
&=& \frac{x^{3+4} y^{8-3}}{z^4}\\
&=& \frac{x^7 y^5}{z^4}
\end{eqnarray*}
$\displaystyle \frac{x^7 y^5}{z^4}$
ตัวอย่างการจัดรูปเลขยกกำลัง
จงทำ $\displaystyle \frac{(a^2 b^3)(a b^4)^{-3}}{a^2 b}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
\begin{eqnarray*}
\frac{(a^2 b^3)(a b^4)^{-3}}{a^2 b} &=& \frac{a^2 b^3 a^{-3} b^{-12}}{a^2 b}\\
&=& \frac{a^{2 + (-3)} b^{3 + (-12)}}{a^2 b}\\
&=& \frac{a^{-1} b^{-9}}{a^2 b}\\
\end{eqnarray*}
จะเห็นว่า ตัวเศษมีเลขชี้กำลังติดลบ เราจึงนำลงไปรวมกับตัวส่วน
\begin{eqnarray*}
\frac{a^{-1} b^{-9}}{a^2 b} &=& \frac{1}{a^{2 - (-1)} b^{1 - (-9)}}\\
&=& \frac{1}{a^3 b^{10}}
\end{eqnarray*}
$\displaystyle \frac{1}{a^3 b^{10}}$