ดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์ (Determinant of Adjoint)


การคำนวณ $\det$ ของแอดจอยท์หรือเมทริกซ์ผูกพันของเมทริกซ์ใดๆ สามารถใช้สูตรต่อไปนี้ได้เลย

$$\det\left(\operatorname{adj}A\right)=\left(\det A\right)^{n-1}$$

เมื่อ $A$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด $n\times n$

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ที่มีอินเวอร์สการคูณ

จากสูตรอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}A$ ย้าย $\det A$ ซึ่งเป็นจำนวนจริงไปด้านซ้ายของสมการ จะได้

$$\left(\det A\right)A^{-1} = \operatorname{adj}A$$

สลับข้างซ้ายขวาของสมการแล้ว take $\det$ ทั้งสองข้างของสมการ ใช้สูตรดึงค่าคงตัวออกจาก $\det$ และสูตร $\det$ ของเมทริกซ์อินเวอร์ส จะได้

\begin{eqnarray*}
 \operatorname{adj}A & = & \left(\det A\right)A^{-1}\\
\det\left(\operatorname{adj} A\right) & = & \det\left[\left(\det A\right)A^{-1}\right]\\
 & = & \left(\det A\right)^{n}\det\left[A^{-1}\right]\\
 & = & \left(\det A\right)^{n}\cdot\frac{1}{\det A}\\
 & = & \left(\det A\right)^{n}\cdot\left(\det A\right)^{-1}\\
 & = & \left(\det A\right)^{n-1}
\end{eqnarray*}

ตัวอย่างการใช้สูตร

ให้ $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right)$ จงหา $\det\left(\operatorname{adj}A\right)$

คำนวณ $\det A$ ก่อน

\begin{eqnarray*}
\det A & = & -\left(2\right)\left(3\right)+\left(1\right)\left(4\right)\\
 & = & -6+4\\
 & = & -2
\end{eqnarray*}

จากนั้นใช้สูตร

\begin{eqnarray*}
\det\left(\operatorname{adj} A\right) & = & \left(\det A\right)^{2-1}\\
 & = & \left(\det A\right)^{1}\\
 & = & \left(\det A\right)\\
 & = & -2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อนี้ตอบ $-2$

กำหนดให้ $B$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ซึ่งมี $\det B=-3$ จงหา $\det\left(\operatorname{adj}B\right)$

คำนวณ $\det\left(\operatorname{adj}B\right)$ โดยใช้สูตร

\begin{eqnarray*}
\det\left(\operatorname{adj} B\right) & = & \left(\det B\right)^{3-1}\\
 & = & \left(\det B\right)^{2}\\
 & = & \left(-3\right)^{2}\\
 & = & 9
\end{eqnarray*}

 

$9$ 

คำคล้าย: 
  • ดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์
  • ดีเทอร์มิแนนท์ของแอดจอยท์
  • เดทของแอดจอยท์
  • Det Adj
  • Det ของ Adj
  • เดทของเมทริกซ์ผูกพัน
  • ดีเทอร์มินันท์ของเมทริกซ์ผูกพัน
  • ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผูกพัน
  • Det of Adjoint
  • Det of Adjoint Matrix
  • Determinant of Adjoint Matrix
  • Determinant of Adjoint