ปริพันธ์แบบจำกัดเขต
ปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะเขียนอยู่ในรูป โดยเราจะอ่านว่า "อินทิเกรตจาก ถึง " มีวิธีการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ดังนี้
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)
กำหนด เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ถ้า เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน แล้ว จะได้
การหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงค่าหนึ่ง สามารถสรุปขั้นตอนการหาได้ดังต่อไปนี้
- หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต สมมุติได้คำตอบคือ
- แทนค่า และ ลงใน จะได้ค่าของ และ
- ค่าของ จะเท่ากับ
ข้อสังเกต
ในขั้นตอนที่เราหาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต ปกติเราต้องเพิ่ม ลงในผลลัพธ์ด้วย แต่ในการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตนั้น เราไม่จำเป็นต้องเพิ่ม เข้าในผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1. เนื่องจากเมื่อเราคำนวณ ในขั้นตอนที่ 3. แล้ว ค่า จะตัดกันไปนั่นเอง
หมายเหตุ: ในทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส เราสามารถเขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ หรือ เพื่อให้สะดวกในการเขียนขั้นตอนการคำนวณได้
ตัวอย่างการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต
ตัวอย่างที่ 1
จงหาค่าของ
1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต
จะได้
2. แทนค่า และ ใน
3. หาปริพันธ์แบบจำกัดเขต จาก ถึง
จะได้
จะเห็นว่า การเขียนแสดงขั้นตอนการคำนวณข้างต้นค่อนข้างยาวและไม่สะดวกนัก เราสามารถใช้สัญลักษณ์ เพื่อให้สะดวกในการเขียนได้ ดังนี้
ตัวอย่างที่ 2
จงหาค่าของ
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่าของ