การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต, ปริพันธ์แบบมีขอบเขต, อินทิเกรตแทนค่า, อินทิเกรตแบบแทนค่า
(definite integral)

ปริพันธ์แบบจำกัดเขต

 

ปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะเขียนอยู่ในรูป abf(x)dx โดยเราจะอ่านว่า "อินทิเกรตจาก a ถึง b" มีวิธีการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ดังนี้

 

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)

กำหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว จะได้

abf(x)dx=F(b)F(a)

 

การหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงค่าหนึ่ง สามารถสรุปขั้นตอนการหาได้ดังต่อไปนี้

  1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต f(x)dx สมมุติได้คำตอบคือ F(x)
  2. แทนค่า a และ b ลงใน F(x) จะได้ค่าของ F(a) และ F(b)
  3. ค่าของ abf(x)dx จะเท่ากับ F(b)F(a)

ข้อสังเกต

ในขั้นตอนที่เราหาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต ปกติเราต้องเพิ่ม +c ลงในผลลัพธ์ด้วย แต่ในการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตนั้น เราไม่จำเป็นต้องเพิ่ม +c เข้าในผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1. เนื่องจากเมื่อเราคำนวณ F(b)F(a) ในขั้นตอนที่ 3. แล้ว ค่า +c จะตัดกันไปนั่นเอง

 หมายเหตุ: ในทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส เราสามารถเขียนแทน F(b)F(a) ด้วยสัญลักษณ์ F(x)|ab หรือ [F(x)]ab เพื่อให้สะดวกในการเขียนขั้นตอนการคำนวณได้

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต

ตัวอย่างที่ 1

จงหาค่าของ 01x2dx

1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต

x2dx=x33

จะได้ F(x)=x33

2. แทนค่า 0 และ 1 ใน F(x)

F(1)=133=13
F(0)=033=0

3. หาปริพันธ์แบบจำกัดเขต จาก 0 ถึง 1

01x2dx=130=13

จะได้ 01x2dx=13


จะเห็นว่า การเขียนแสดงขั้นตอนการคำนวณข้างต้นค่อนข้างยาวและไม่สะดวกนัก เราสามารถใช้สัญลักษณ์ F(x)|ab เพื่อให้สะดวกในการเขียนได้ ดังนี้

01x2dx=x33|01=133033=130=13
 

 01x2dx=13


 

ตัวอย่างที่ 2

จงหาค่าของ 02(3x23)dx 

02(3x23)dx=[3x333x]02=[x33x]02=[233(2)][033(0)]=20=2

 02(3x23)dx=2


 

ตัวอย่างที่ 3

จงหาค่าของ 11(x2+2x3)dx

11(x2+2x3)dx=11(x2+2x3)dx=[x33+2x22]11=[x331x2]11=[133112][(1)331(1)2]=[131][131]=23

11(x2+2x3)dx=23

 

คำคล้าย : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต, ปริพันธ์แบบมีขอบเขต, อินทิเกรตแทนค่า, อินทิเกรตแบบแทนค่า
Under Growing
"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า
คอร์สแนะนำ
หนังสือแนะนำ
รายละเอียดการใช้งานคุกกี้

เพื่อประโยชน์และประสบการณ์ที่ดีในการใช้งานเว็บไซต์ของ บริษัท โอเพ่นดูเรียน จํากัด (“โอเพ่นดูเรียน”) โอเพ่นดูเรียนจึงใช้คุกกี้บนเว็บไซต์ของบริษัท ทั้งนี้ คุณสามารถศึกษาเพิ่มเติม เกี่ยวกับนโยบายคุกกี้ของโอเพ่นดูเรียนได้ที่ นโยบายคุกกี้ และคุณสามารถปฏิเสธคุกกี้ได้