การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต (Definite Integral)


ปริพันธ์แบบจำกัดเขต

 

ปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะเขียนอยู่ในรูป $\displaystyle \int_{a}^b f(x)dx$ โดยเราจะอ่านว่า "อินทิเกรตจาก $a$ ถึง $b$" มีวิธีการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ดังนี้

 

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)

กำหนด $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[a,b]$ ถ้า $F$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ แล้ว จะได้

$\displaystyle \int_{a}^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

 

การหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตจะมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงค่าหนึ่ง สามารถสรุปขั้นตอนการหาได้ดังต่อไปนี้

  1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต $\displaystyle \int f(x)dx$ สมมุติได้คำตอบคือ $F(x)$
  2. แทนค่า $a$ และ $b$ ลงใน $F(x)$ จะได้ค่าของ $F(a)$ และ $F(b)$
  3. ค่าของ $\displaystyle \int_{a}^b f(x)dx$ จะเท่ากับ $F(b) - F(a)$

ข้อสังเกต

ในขั้นตอนที่เราหาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต ปกติเราต้องเพิ่ม $+c$ ลงในผลลัพธ์ด้วย แต่ในการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตนั้น เราไม่จำเป็นต้องเพิ่ม $+c$ เข้าในผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1. เนื่องจากเมื่อเราคำนวณ $F(b)-F(a)$ ในขั้นตอนที่ 3. แล้ว ค่า $+c$ จะตัดกันไปนั่นเอง

 หมายเหตุ: ในทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส เราสามารถเขียนแทน $F(b)-F(a)$ ด้วยสัญลักษณ์ $\displaystyle F(x) |_{a}^b$ หรือ $\displaystyle [F(x)]_{a}^b$ เพื่อให้สะดวกในการเขียนขั้นตอนการคำนวณได้

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต

ตัวอย่างที่ 1

จงหาค่าของ $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 dx$

1. หาปริพันธ์แบบไม่จำกัดเขต

\begin{eqnarray*}
\int x^2 dx &=& \frac{x^3}{3}
\end{eqnarray*}

จะได้ $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3}$

2. แทนค่า $0$ และ $1$ ใน $F(x)$

$\displaystyle F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$
$\displaystyle F(0) = \frac{0^3}{3} = 0$

3. หาปริพันธ์แบบจำกัดเขต จาก $0$ ถึง $1$

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1} x^2 dx &=& \frac{1}{3} - 0\\
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

จะได้ $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$


จะเห็นว่า การเขียนแสดงขั้นตอนการคำนวณข้างต้นค่อนข้างยาวและไม่สะดวกนัก เราสามารถใช้สัญลักษณ์ $\displaystyle \left. F(x) \right|_a^b$ เพื่อให้สะดวกในการเขียนได้ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1} x^2 dx &=& \left. \frac{x^3}{3}\right|_{0}^{1}\\
&=& \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\\
&=& \frac{1}{3} - 0\\
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray*} 

 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$


 

ตัวอย่างที่ 2

จงหาค่าของ $\displaystyle \int_0^2 (3x^2-3) dx$ 

\begin{eqnarray*}
\int_0^2 (3x^2-3) dx &=& \left[\frac{3x^3}{3} - 3x\right]_0^2\\
&=& \left[x^3-3x\right]_0^2\\
&=& [2^3-3(2)] - [0^3 - 3(0)]\\
&=& 2-0\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

 $\displaystyle \int_0^2 (3x^2-3) dx = 2$


 

ตัวอย่างที่ 3

จงหาค่าของ $\displaystyle \int_{-1}^{1} \left(x^2 + \frac{2}{x^3}\right) dx$

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^1 \left(x^2 + \frac{2}{x^3}\right) dx &=& \int_{-1}^1 \left(x^2 + 2x^{-3}\right)dx\\
&=& \left[\frac{x^3}{3} + \frac{2x^{-2}}{-2}\right]_{-1}^1\\
&=& \left[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x^2}\right]_{-1}^1\\
&=& \left[\frac{1^3}{3} - \frac{1}{1^2}\right] - \left[\frac{(-1)^3}{3} - \frac{1}{(-1)^2}\right]\\
&=& \left[\frac{1}{3}-1\right] - \left[-\frac{1}{3}-1\right]\\
&=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \int_{-1}^1 \left(x^2 + \frac{2}{x^3}\right) dx = \frac{2}{3}$

 

คำคล้าย: 
  • การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต
  • ปริพันธ์แบบมีขอบเขต
  • อินทิเกรตแทนค่า
  • อินทิเกรตแบบแทนค่า
  • Definite Integral