กฎของคราเมอร์ (Cramers Rule)


วิธีการนี้เป็นอีกวิธีที่ใช้ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อ Gabrial Cramer (1704–1752)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น $2$ ตัวแปรโดยใช้กฏของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น
 $$\begin{eqnarray}
a_1x+b_1y&=&d_1\\
a_2x+b_2y&=&d_2
\end{eqnarray}$$
เมื่อ $a_1, a_2,b_1, b_2, d_1, d_2$ เป็นค่าคงตัว  สามารถใช้กฏของคราเมอร์หาคำตอบของระบบสมการได้เช่นกันโดยที่
$ A=\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2 \end{bmatrix} ,    X=\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}$ และ $D=\begin{bmatrix}{\color{blue}d_{\color{blue}1}}\\{\color{blue}d_{\color{blue}2}}\end{bmatrix}$


โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
$$\begin{eqnarray}x&=&\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}d_{\color{blue}1}}&b_1\\{\color{blue}d_{\color{blue}2}}&b_2 \end{bmatrix}}{\det A},\\
y&=&\frac{\det\begin{bmatrix}a_1&{\color{blue}d_{\color{blue}1}}\\a_2&{\color{blue}d_{\color{blue}2}}\end{bmatrix}}{\det A}
\end{eqnarray}$$

 ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ $2\times 2$

จงหาคำตอบของสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ $x+2y=1$ และ $3x+4y=2$

เราเขียนเป็น
$$\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$$
นั่น คือ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\end{bmatrix}$ และ $\det A=-2$ จากรูป


การ หาค่า $x$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $1$
ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&2\\{\color{blue}2}&4\end{bmatrix}=0$ จากรูป

$$x=\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&2\\{\color{blue}2}&4\end{bmatrix}}{\det A}=\frac{0}{-2}=0$$
การ หาค่า $y$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $2$
ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}\\3&{\color{blue}2}\end{bmatrix}=-1$ จากรูป

$$y=\frac{\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}\\3&{\color{blue}2}\end{bmatrix}}{\det A}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$$

ดังนั้น $x=0$ และ $y=\frac{1}{2}$

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น $3$ ตัวแปรโดยใช้วิธีของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น

$$\begin{eqnarray}
a_1x+b_1y+c_1z&=&d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z&=&d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z&=&d_3\
\end{eqnarray}$$
เมื่อ $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ เป็นค่าคงตัว

สามารถเขียนในรูปของ $AX=D$ ได้ดังนี้
$$\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\d_3 \end{bmatrix}$$

เมื่อ $ A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix} ,    X=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$ และ $D=\begin{bmatrix}{\color{blue}d_{\color{blue}1}}\\{\color{blue}d_{\color{blue}2}}\\{\color{blue}d_{\color{blue}3}} \end{bmatrix}$
 

โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ
$$\begin{eqnarray}x&=&\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}d_{\color{blue}1}}&b_1&c_1\\{\color{blue}d_{\color{blue}2}}&b_2&c_2\\{\color{blue}d_{\color{blue}3}}&b_3&c_3 \end{bmatrix}}{\det A},\\
y&=&\frac{\det\begin{bmatrix}a_1&{\color{blue}d_{\color{blue}1}}&c_1\\a_2&{\color{blue}d_{\color{blue}2}}&c_2\\a_3&{\color{blue}d_{\color{blue}3}}&c_3 \end{bmatrix}}{\det A},\\
z&=&\frac{\det\begin{bmatrix}a_1&b_1&{\color{blue}d_{\color{blue}1}}\\a_2&b_2&{\color{blue}d_{\color{blue}2}}\\a_3&b_3&{\color{blue}d_{\color{blue}3}} \end{bmatrix}}{\det A}\end{eqnarray}$$

สำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่า $3\times 3$ สามารถทำได้โดยใช้หลักการเดียวกัน

 ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ $3\times 3$

จงหาค่า $y$ โดยที่ $y$ เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นที่กำหนดให้
$$\begin{eqnarray}
x+2y+z&=&1\\
2x+y+3z&=&2\\
x-y+z&=&3\\
\end{eqnarray}$$

เราเขียนเป็น
$$\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$$
นั่น คือ $A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\1&-1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ และ $\det A=3$ จากรูป

 

การหาค่า $y$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $2$ ของเมทริกซ์
$A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&3\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}=-2$ จากรูป 

$$y=\frac{\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&3\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}}{\det A}=-\frac{2}{3}$$

$y=-\frac{2}{3}$


ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ $3\times 3$

จงหาคำตอบของระบบสมการ
$$\begin{eqnarray}
x+z&=&1\\
2x+y&=&2\\
x-y+z&=&3\\
\end{eqnarray}$$ 

เราเขียนเป็น
$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$$
นั่น คือ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ และ $\det A=-2$ จากรูป

 

การ หาค่า $x$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $1$ ของเมทริกซ์
$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&0&1\\{\color{blue}2}&1&0\\{\color{blue}3}&-1&1 \end{bmatrix}=-4$ ดังรูป

$$x=\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&0&1\\{\color{blue}2}&1&0\\{\color{blue}3}&-1&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{-4}{-2}=2$$
การหาค่า $y$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $2$ ของเมทริกซ์
$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&0\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}=4$ จากรูป

$$y=\frac{\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&0\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{4}{-2}=-2$$
การหาค่า $z$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $3$ ของเมทริกซ์
$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น $\det\begin{bmatrix}1&0&{\color{blue}1}\\2&1&{\color{blue}2}\\1&-1&{\color{blue}3} \end{bmatrix}=2$ จากรูป

$$z=\frac{\det\begin{bmatrix}1&0&{\color{blue}1}\\2&1&{\color{blue}2}\\1&-1&{\color{blue}3} \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{2}{-2}=-1$$
 

ดังนั้น $x=2, y=-2$ และ $z=-1$ 

 

คำคล้าย: 
  • กฎของคราเมอร์
  • Cramers Rule