การลู่เข้าของอนุกรม (Convergent Series Concept)


ถ้าให้ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ เป็นอนุกรมอนันต์ เราจะเรียกผลบวก $n$ พจน์แรกว่า ผลบวกย่อย (Partial Sum) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $S_n$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ

$$S_n=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}={\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}}$$

อนุกรม $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$  จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า ลิมิตของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ หาค่าได้ ส่วนอนุกรมที่ลิมิตของผลบวกย่อยหาค่าไม่ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่างการหาผลบวกย่อยและแสดงว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า

ให้แสดงว่าอนุกรม $1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots$ ลู่เข้าหรือลู่ออก

หาผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ก่อน

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\\
 & = & 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\
 & = & \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}}\\
 & = & \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{\frac{1}{2}}\\
 & = & \left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\times\frac{2}{1}\\
 & = & 2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
\end{eqnarray*}

* ข้อนี้ใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต $S_n = \frac{a_1 - a_1r^n}{1-r}$

ดังนั้นผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ คือ $S_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

เพื่อทดสอบว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก เราคำนวณลิมิตของ $S_n$

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}2-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\\
 & = & \left(2\right)-\left(0\right)\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าลิมิตของ $S_n$ หาค่าได้ ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า

ตัวอย่างการหาผลบวกย่อยแสดงว่าเป็นอนุกรมลู่ออก

จงแสดงว่าอนุกรม $1+2+3+4+\cdots + n+\cdots$ เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก

คำนวณผลบวกย่อย $S_n$ โดยใช้สูตร $\displaystyle\sum_{i=1}^ni=\frac{n}{2}(n+1)$ ก่อน

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & 1+2+3+\cdots+n\\
 & = & \sum_{i=1}^{n}i\\
 & = & \frac{n\left(n+1\right)}{2}
\end{eqnarray*}

นำผลบวกย่อยมาคำนวณลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}+n}{2}\\
 & = & \infty
\end{eqnarray*}

ซึ่งหาค่าไม่ได้ ดังนั้นอนุกรม $1+2+3+\cdots$ เป็นอนุกรมลู่ออก

ตัวอย่างอนุกรมลู่เข้า

  • อนุกรมพี ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}}$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนจริงที่ $p>1$

  • อนุกรมเรขาคณิต ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{1}r^{n-1}}$ เมื่อ $\left|r\right|<1$

  • อนุกรมเทเลสโคป ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+1\right)}}$

  • $\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots$

  • ส่วนกลับของอนุกรมฟิโบนักซี $\frac11+\frac11+\frac12+\frac13+\frac15+\frac18+\cdots$

ตัวอย่างอนุกรมลู่ออก

  • $1+2+3+4+\cdots+n+\cdots$
  • $\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n+\cdots$ (อนุกรมพี ที่ $p=1$)
  • $1+1+1+1+\cdots$
  • อนุกรมเรขาคณิต $1+2+4+8+\cdots$ ($r=2$ ทำให้ $\left|r\right|\not<1$)
คำคล้าย: 
  • การลู่เข้าของอนุกรม
  • Convergent Series Concept