ฟังก์ชันคอมโพสิท (ฟังก์ชันประกอบ)

ให้ $f, g$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง $R_f \cap D_g \neq \emptyset$ ฟังก์ชันคอมโพสิทของ $f$ และ $g$ ที่ $x$ เขียนแทนด้วย $(g \circ f)(x)$ โดยที่

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ สำหรับทุก $x$ ซึ่ง $f(x) \in D_g$

โดเมนของ $g \circ f$ คือ $\displaystyle D_{g \circ f} = \{ x \in D_f | f(x) \in R_f \cap D_g \}$

แผนภาพแสดงฟังก์ชันคอมโพสิท

ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท

 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันคอมโพสิท

กำหนด $f, g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชัน แล้ว

1. ถ้า $f: A \rightarrow B$ และ $g: B \rightarrow C$ แล้ว $g \circ f: A \rightarrow C$
2. ถ้า $f: A \rightarrow B$ และ $g: B \rightarrow C$ แล้ว จะได้ $D_{g \circ f} = A$ และ $R_{g \circ f} \subset C$
3. ถ้า $\displaystyle f: A \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} C$ แล้ว $\displaystyle g \circ f: A \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} C$
4. ถ้า $\displaystyle f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{1-1}{\longrightarrow} C$ แล้ว $\displaystyle g \circ f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} C$
5. $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
6. ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$ แล้ว $(f \circ f^{-1}) (x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$ แต่ไม่จำเป็นที่ $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f$
7. ถ้า $\displaystyle f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{1-1}{\longrightarrow} C$ แล้ว $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท