ฟังก์ชันคอมโพสิท (ฟังก์ชันประกอบ)
ให้ $f, g$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง $R_f \cap D_g \neq \emptyset$ ฟังก์ชันคอมโพสิทของ $f$ และ $g$ ที่ $x$ เขียนแทนด้วย $(g \circ f)(x)$ โดยที่
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ สำหรับทุก $x$ ซึ่ง $f(x) \in D_g$
โดเมนของ $g \circ f$ คือ $\displaystyle D_{g \circ f} = \{ x \in D_f | f(x) \in R_f \cap D_g \}$
แผนภาพแสดงฟังก์ชันคอมโพสิท
ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนดให้ $f = \{ (1,3) , (2,5) , (3,7) , (4,6) \}$ และ $g = \{ (3, -2), (4,3) , (5,0) , (6,1) , (7,2) \}$
จงเขียน $g \circ f, f \circ g , f \circ f$ และ $g \circ g$
พิจารณา $g \circ f$
เริ่มต้นจากโดเมนในฟังก์ชัน $f$ เช่น $x = 1$ ส่งผ่านไปยัง $f(1) = 3$ และส่งต่อไปยัง $g(f(1)) = g(3) = -2$ จะได้ว่า $(g \circ f)(1) = -2$
ดังนั้น $g \circ f = \{ (1, -2), (2, 0), (3, 2), (4, 1) \}$
ในทำนองเดียวกัน เราจะได้
$f \circ g = \{ (4, 7), (6, 3), (7, 5) \}$
$f \circ f = \{ (1, 7) \}$
$g \circ g = \{ (4, -2) \}$
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนด $f, g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชัน แล้ว
- ถ้า $f: A \rightarrow B$ และ $g: B \rightarrow C$ แล้ว $g \circ f: A \rightarrow C$
- ถ้า $f: A \rightarrow B$ และ $g: B \rightarrow C$ แล้ว จะได้ $D_{g \circ f} = A$ และ $R_{g \circ f} \subset C$
- ถ้า $\displaystyle f: A \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} C$ แล้ว $\displaystyle g \circ f: A \overset{\text{ทั่วถึง}}{\longrightarrow} C$
- ถ้า $\displaystyle f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{1-1}{\longrightarrow} C$ แล้ว $\displaystyle g \circ f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} C$
- $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
- ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$ แล้ว $(f \circ f^{-1}) (x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$ แต่ไม่จำเป็นที่ $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f$
- ถ้า $\displaystyle f: A \overset{1-1}{\longrightarrow} B$ และ $\displaystyle g: B \overset{1-1}{\longrightarrow} C$ แล้ว $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$
ตัวอย่างฟังก์ชันคอมโพสิท
กำหนดให้ $f(x) = x-5$ และ $g(x) = 1 - x^2$ จงหา $(f \circ g)(x)$ และ $(g \circ f)(-1)$
\begin{eqnarray*}
(f \circ g)(x) &=& f(g(x))\\
&=& f(1 - x^2)\\
&=& (1 - x^2) - 5\\
&=& -x^2 - 4
\end{eqnarray*}
และ
\begin{eqnarray*}
(g \circ f)(-2) &=& g(f(-1))
\end{eqnarray*}
ซึ่ง $f(-1) = -1 - 5 = -6$
\begin{eqnarray*}
(g \circ f)(-2) &=& g(-6)\\
&=& 1 - (-6)^2\\
&=& 1 - 36\\
&=& -35
\end{eqnarray*}
$(f \circ g)(x) = -x^2 - 4$ และ $(g \circ f)(-2) = -35$