กฎลูกโซ่ | OpenDurian เตรียมสอบ TOEIC IELTS TCAS ก.พ.

กฎลูกโซ่

(chain rule)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Derivatives of Composite Functions)

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบนี้ เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "กฎลูกโซ่ (chain rule)"

กฎลูกโซ่ ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $f(x)$ แล้ว $g \circ f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ

$(g \circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$

จากสูตร ถ้าให้ $u=f(x)$ และให้ $y=(g \circ f)(x)$

จะได้ $y=g(f(x))=g(u)$

นั่นคือ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=g'(f(x))f'(x)=\frac{d}{du}g(u) \cdot \frac{d}{dx}(u)$

เพราะฉะนั้น สูตรกฎลูกโซ่สามารถเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งได้ว่า

ถ้า $u=f(x), y=g(u)=g(f(x))$ และ $\displaystyle \frac{dy}{du}, \frac{du}{dx}$ หาค่าได้แล้ว $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ว่าด้วยเรื่องของสัญลักษณ์ $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ นั้น หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ $y$ เทียบกับ $x$ คือมอง $x$ เป็นตัวแปรนั่นเอง ดังนั้น $\displaystyle \frac{dy}{du}$ คือการหาอนุพันธ์ของ $y$ เมื่อมอง $u$ เป็นตัวแปร และ $\displaystyle \frac{du}{dx}$ คือการหาอนุพันธ์ของ $u$ เมื่อมอง $x$ เป็นตัวแปร

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ $y=(2x+1)^3$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

ให้ $u=2x+1$ จะได้ $y=u^3$

\begin{array}{rcl} y^{'} & = & \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ = & \frac{d}{d u} (u^{3}) \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1) \\ = & (3 u^{2}) (2) \\ = & 6 u^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} y' &=& \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\\ &=& \frac{d}{du}(u^3) \cdot \frac{d}{dx}(2x+1)\\ &=& (3u^2)(2)\\ &=& 6u^2 \end{eqnarray*}$

จะได้ $y'=6u^2=6(2x+1)^2$

$y'=6(2x+1)^2$

การใช้กฎลูกโซ่นั้น สามารถมองให้ง่ายขึ้นโดยการ "ดิฟไส้" เช่นในตัวอย่างที่ 1 จาก $y=(2x+1)^3$ หากเรามองให้ $2x+1$ เป็นไส้ วิธีการหาอนุพันธ์ในข้อนี้คือให้หาอนุพันธ์โดยมองภาพรวมใหญ่ๆ ให้ $2x+1$ คือตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะหาอนุพันธ์ได้เป็น $3(2x+1)^2$ แล้วให้ "ดิฟไส้" ก็คือหาอนุพันธ์ของ $2x+1$ อีกครั้ง จะได้ $3(2x+1)^2(2)=6(2x+1)^2$

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ $y=(1-3x^2)^5$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

เรามอง $1-3x^2$ เป็นไส้ จะได้

\begin{array}{rcl} y^{'} & = & 5 (1 - 3 x^{2})^{4} \underset{ดิฟไส้}{\underset{⏟}{(- 6 x)}} \\ = & - 30 x (1 - 3 x^{2})^{4} \end{array}

$\begin{eqnarray*} y' &=& 5(1-3x^2)^4\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{(-6x)}}\\ &=& -30x(1-3x^2)^4 \end{eqnarray*}$

$y'=-30x(1-3x^2)^4$

ตัวอย่างที่ 3

กำหนด $f(x)=\sqrt{x^2+3x-1}$ จงหา $f'(2)$

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3x-1}=(x^2+3x-1)^{\frac{1}{2}}$

จะได้

\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (x^{2} + 3 x - 1)^{- \frac{1}{2}} \underset{ดิฟไส้}{\underset{⏟}{(2 x + 3)}} \\ = & \frac{2 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 1}} \end{array}

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{1}{2}(x^2+3x-1)^{-\frac{1}{2}}\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{(2x+3)}}\\ &=& \frac{2x+3}{2 \sqrt{x^2+3x-1}} \end{eqnarray*}$

ดังนั้น

\begin{array}{rcl} f^{'} (2) & = & \frac{2 (2) + 3}{2 \sqrt{2^{2} + 3 (2) - 1}} \\ = & \frac{7}{2 \sqrt{9}} \\ = & \frac{7}{2 (3)} \\ = & \frac{7}{6} \end{array}

$\begin{eqnarray*} f'(2) &=& \frac{2(2)+3}{2 \sqrt{2^2+3(2)-1}}\\ &=& \frac{7}{2 \sqrt{9}}\\ &=& \frac{7}{2(3)}\\ &=& \frac{7}{6} \end{eqnarray*}$

$\displaystyle f'(2)=\frac{7}{6}$

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดฟังก์ชัน $\displaystyle s(t)=\frac{1}{(2t^2-1)^3}$ จงหา $s'(-1)$

ในข้อนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $s$ เทียบกับ $t$ นั่นคือมอง $t$ เป็นตัวแปร

$\displaystyle s(t)=\frac{1}{(2t^2-1)^3}=(2t^2-1)^{-3}$

จะได้

\begin{array}{rcl} s^{'} (t) & = & - 3 (2 t^{2} - 1)^{- 4} (4 t) \\ = & - \frac{12 t}{(2 t^{2} - 1)^{4}} \end{array}

$\begin{eqnarray*} s'(t) &=& -3(2t^2-1)^{-4}(4t)\\ &=& -\frac{12t}{(2t^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

ดังนั้น

\begin{array}{rcl} s^{'} (- 1) & = & - \frac{12 (- 1)}{(2 (- 1)^{2} - 1)^{4}} \\ = & 12 \end{array}

$\begin{eqnarray*} s'(-1) &=& -\frac{12(-1)}{(2(-1)^2-1)^4}\\ &=& 12 \end{eqnarray*}$

$s'(-1)=12$

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่รวมกับสูตรผลคูณและสูตรผลหาร

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด $y=(x-3)^3(2x+1)$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

ข้อนี้ $y$ อยู่ในรูปของผลคูณของ $(x-3)^3$ และ $2x+1$ ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรผลคูณก่อน

\begin{array}{rcl} y^{'} & = & (x - 3)^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} \underset{ฟังก์ชันประกอบ}{\underset{⏟}{(x - 3)^{3}}} \\ = & (x - 3)^{3} (2) + (2 x + 1) (3) (x - 3)^{2} (1) \\ = & 2 (x - 3)^{3} + (6 x + 3) (x - 3)^{2} \\ = & (x - 3)^{2} (2 x - 6 + 6 x + 3) \\ = & (x - 3)^{2} (8 x - 3) \end{array}

$\begin{eqnarray*} y' &=& (x-3)^3 \frac{d}{dx}(2x+1) + (2x+1) \frac{d}{dx}\underset{\text{ฟังก์ชันประกอบ}}{\underbrace{(x-3)^3}}\\ &=& (x-3)^3(2)+(2x+1)(3)(x-3)^2(1)\\ &=& 2(x-3)^3+(6x+3)(x-3)^2\\ &=& (x-3)^2(2x-6+6x+3)\\ &=& (x-3)^2(8x-3) \end{eqnarray*}$

$y'=(x-3)^2(8x-3)$

ตัวอย่างที่ 7

กำหนด $\displaystyle f(x)=\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^3$ จงหา $f'(1)$

ข้อนี้เราสามารถมอง $\displaystyle \frac{2x+1}{1-2x}$ เป็น "ไส้" โดยที่อยู่ในรูปของผลหาร

จะได้

$\displaystyle f'(x) = 3\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^2\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{\frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)}}$ $\ldots (1)$

ดิฟไส้ ต้องใช้สูตรผลหาร

จะได้

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{1 - 2 x}) & = & \frac{(1 - 2 x) (2) - (2 x + 1) (- 2)}{(1 - 2 x)^{2}} \\ = & \frac{2 - 4 x + 4 x + 2}{(1 - 2 x)^{2}} \\ = & \frac{4}{(1 - 2 x)^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right) &=& \frac{(1-2x)(2)-(2x+1)(-2)}{(1-2x)^2}\\ &=& \frac{2-4x+4x+2}{(1-2x)^2}\\ &=& \frac{4}{(1-2x)^2} \end{eqnarray*}$

แทนใน $(1)$ จะได้

$\displaystyle f'(x) = 3\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^2 \cdot \frac{4}{(1-2x)^2}$

ดังนั้น

\begin{array}{rcl} f^{'} (1) & = & 3 {(\frac{2 (1) + 1}{1 - 2 (1)})}^{2} \cdot \frac{4}{(1 - 2 (1))^{2}} \\ = & 3 {(\frac{3}{- 1})}^{2} \cdot \frac{4}{(- 1)^{2}} \\ = & 3 (9) (4) \\ = & 108 \end{array}

$\begin{eqnarray*} f'(1) &=& 3\left(\frac{2(1)+1}{1-2(1)}\right)^2 \cdot \frac{4}{(1-2(1))^2}\\ &=& 3\left(\frac{3}{-1}\right)^2 \cdot \frac{4}{(-1)^2}\\ &=& 3(9)(4)\\ &=& 108 \end{eqnarray*}$

$f'(1)=108$

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดให้ $F(x)=f(g(x))$ และ $g(2)=4, g'(2)=5, f'(4)=9$ จงหา $F'(2)$

$F'(x)=f'(g(x))g'(x)$

จะได้

\begin{array}{rcl} F^{'} (2) & = & f^{'} (g (2)) g^{'} (2) \\ = & f^{'} (4) (5) \\ = & (9) (5) \\ = & 45 \end{array}

$\begin{eqnarray*} F'(2) &=& f'(g(2))g'(2)\\ &=& f'(4)(5)\\ &=& (9)(5)\\ &=& 45 \end{eqnarray*}$

$F'(2)=45$

คำคล้าย : กฎลูกโซ่

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ