กฎลูกโซ่ (Chain Rule)


อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Derivatives of Composite Functions)

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบนี้ เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "กฎลูกโซ่ (chain rule)"

กฎลูกโซ่  ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $f(x)$ แล้ว $g \circ f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ 

$(g \circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$

จากสูตร ถ้าให้ $u=f(x)$ และให้ $y=(g \circ f)(x)$

จะได้ $y=g(f(x))=g(u)$

นั่นคือ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=g'(f(x))f'(x)=\frac{d}{du}g(u) \cdot \frac{d}{dx}(u)$

เพราะฉะนั้น สูตรกฎลูกโซ่สามารถเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งได้ว่า

ถ้า $u=f(x), y=g(u)=g(f(x))$ และ $\displaystyle \frac{dy}{du}, \frac{du}{dx}$ หาค่าได้แล้ว $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ว่าด้วยเรื่องของสัญลักษณ์ $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ นั้น หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ $y$ เทียบกับ $x$ คือมอง $x$ เป็นตัวแปรนั่นเอง ดังนั้น $\displaystyle \frac{dy}{du}$ คือการหาอนุพันธ์ของ $y$ เมื่อมอง $u$ เป็นตัวแปร และ $\displaystyle \frac{du}{dx}$ คือการหาอนุพันธ์ของ $u$ เมื่อมอง $x$ เป็นตัวแปร

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ $y=(2x+1)^3$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

ให้ $u=2x+1$ จะได้ $y=u^3$

\begin{eqnarray*}
y' &=& \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\\
&=& \frac{d}{du}(u^3) \cdot \frac{d}{dx}(2x+1)\\
&=& (3u^2)(2)\\
&=& 6u^2
\end{eqnarray*}

จะได้ $y'=6u^2=6(2x+1)^2$ 

$y'=6(2x+1)^2$

 

การใช้กฎลูกโซ่นั้น สามารถมองให้ง่ายขึ้นโดยการ "ดิฟไส้" เช่นในตัวอย่างที่ 1 จาก $y=(2x+1)^3$ หากเรามองให้ $2x+1$ เป็นไส้ วิธีการหาอนุพันธ์ในข้อนี้คือให้หาอนุพันธ์โดยมองภาพรวมใหญ่ๆ ให้ $2x+1$ คือตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะหาอนุพันธ์ได้เป็น $3(2x+1)^2$ แล้วให้ "ดิฟไส้" ก็คือหาอนุพันธ์ของ $2x+1$ อีกครั้ง จะได้ $3(2x+1)^2(2)=6(2x+1)^2$


 

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ $y=(1-3x^2)^5$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

เรามอง $1-3x^2$ เป็นไส้ จะได้

\begin{eqnarray*}
y' &=& 5(1-3x^2)^4\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{(-6x)}}\\
&=& -30x(1-3x^2)^4
\end{eqnarray*}

$y'=-30x(1-3x^2)^4$ 


 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนด $f(x)=\sqrt{x^2+3x-1}$ จงหา $f'(2)$

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3x-1}=(x^2+3x-1)^{\frac{1}{2}}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{1}{2}(x^2+3x-1)^{-\frac{1}{2}}\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{(2x+3)}}\\
&=& \frac{2x+3}{2 \sqrt{x^2+3x-1}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(2) &=& \frac{2(2)+3}{2 \sqrt{2^2+3(2)-1}}\\
&=& \frac{7}{2 \sqrt{9}}\\
&=& \frac{7}{2(3)}\\
&=& \frac{7}{6}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle f'(2)=\frac{7}{6}$ 


 

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดฟังก์ชัน $\displaystyle s(t)=\frac{1}{(2t^2-1)^3}$ จงหา $s'(-1)$

ในข้อนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $s$ เทียบกับ $t$ นั่นคือมอง $t$ เป็นตัวแปร

$\displaystyle s(t)=\frac{1}{(2t^2-1)^3}=(2t^2-1)^{-3}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
s'(t) &=& -3(2t^2-1)^{-4}(4t)\\
&=& -\frac{12t}{(2t^2-1)^4}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
s'(-1) &=& -\frac{12(-1)}{(2(-1)^2-1)^4}\\
&=& 12
\end{eqnarray*}

$s'(-1)=12$ 

 

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่รวมกับสูตรผลคูณและสูตรผลหาร

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด $y=(x-3)^3(2x+1)$ จงหาอนุพันธ์ของ $y$

 ข้อนี้ $y$ อยู่ในรูปของผลคูณของ $(x-3)^3$ และ $2x+1$ ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรผลคูณก่อน

\begin{eqnarray*}
y' &=& (x-3)^3 \frac{d}{dx}(2x+1) + (2x+1) \frac{d}{dx}\underset{\text{ฟังก์ชันประกอบ}}{\underbrace{(x-3)^3}}\\
&=& (x-3)^3(2)+(2x+1)(3)(x-3)^2(1)\\
&=& 2(x-3)^3+(6x+3)(x-3)^2\\
&=& (x-3)^2(2x-6+6x+3)\\
&=& (x-3)^2(8x-3)
\end{eqnarray*}

$y'=(x-3)^2(8x-3)$ 


 

ตัวอย่างที่ 7

 กำหนด $\displaystyle f(x)=\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^3$ จงหา $f'(1)$

ข้อนี้เราสามารถมอง $\displaystyle \frac{2x+1}{1-2x}$ เป็น "ไส้" โดยที่อยู่ในรูปของผลหาร

จะได้

$\displaystyle f'(x) = 3\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^2\underset{\text{ดิฟไส้}}{\underbrace{\frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)}}$               $\ldots (1)$

ดิฟไส้ ต้องใช้สูตรผลหาร

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right) &=& \frac{(1-2x)(2)-(2x+1)(-2)}{(1-2x)^2}\\
&=& \frac{2-4x+4x+2}{(1-2x)^2}\\
&=& \frac{4}{(1-2x)^2}
\end{eqnarray*}

แทนใน $(1)$ จะได้

$\displaystyle f'(x) = 3\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^2 \cdot \frac{4}{(1-2x)^2}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(1) &=& 3\left(\frac{2(1)+1}{1-2(1)}\right)^2 \cdot \frac{4}{(1-2(1))^2}\\
&=& 3\left(\frac{3}{-1}\right)^2 \cdot \frac{4}{(-1)^2}\\
&=& 3(9)(4)\\
&=& 108
\end{eqnarray*}

$f'(1)=108$ 

 

ตัวอย่างการใช้กฎลูกโซ่เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดให้ $F(x)=f(g(x))$ และ $g(2)=4, g'(2)=5, f'(4)=9$ จงหา $F'(2)$

$F'(x)=f'(g(x))g'(x)$

จะได้

\begin{eqnarray*}
F'(2) &=& f'(g(2))g'(2)\\
&=& f'(4)(5)\\
&=& (9)(5)\\
&=& 45
\end{eqnarray*}

$F'(2)=45$ 

 

คำคล้าย: 
  • กฎลูกโซ่
  • Chain Rule