ลำดับและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Progression)


ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตคือ ลำดับที่ พจน์ขวา $(a_{n+1})$ $-$ พจน์ซ้าย $(a_n)=d$ เป็นค่าคงตัวเท่ากันตลอดนั่นคือ

$$a_{n+1}-a_n=d$$

ข้อสังเกต ถ้ากำหนดให้ $a_1, a_2,\ldots, a_n, a_{n+1},\ldots $ เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว

$$a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_{n+1}-a_n=d$$

ดังนั้น  ลำดับเลขคณิต $a_1, a_2,\ldots, a_n, a_{n+1},\ldots $  จึงเขียนได้อีกแบบเป็น

$$a_1,~ a_1+d,~ a_1+2d,\ldots, ~a_1+(n-1)d,~ a_1+nd,\ldots$$

สูตร หาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต $1, 6, 11, 16, \ldots$

 

จากโจทย์เรารู้ค่า $a_1=1$  และ  $d=6-1=5$ 

จากสูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ   $a_n=a_1+(n-1)d$

เราจะได้ $a_n=1+(n-1)5=5n-4$


 [Ent' 39]  จงหาค่า $m$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด ที่ทำให้ $a_m$ ของลำดับเลขคณิต $2, 5, 8,\ldots$ มีค่ามากกว่า $1,000$

เรารู้ค่า $a_1=2$ และ $d=5-2=3$    เราสมมติ $a_m=1,000$ เมื่อเรานำค่าต่างๆมาแทนในสูตร จะได้

$$1000 = 2+3(m-1)$$

เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ค่า $m\approx 333.66$ ซึ่งค่า $m$ ที่เราต้องการเป็นจำนวนเต็ม

ถ้าเราตอบ $m=333$ จะได้ว่า $a_{333}=2+3\times (333-1)=2+996=998$ แต่ $a_{334}=2+3\times (334-1)=2+999=1001$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $1,000$

ดังนั้นจึงตอบ $m=334$

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเลขคณิตมาบวกกัน

ให้ $a_1,  a_1+d, \ldots,  a_1+(n-1)d$ เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้อนุกรมเลขคณิตดังนี้

$$\begin{eqnarray*}
S_1&=& a_1 \\
S_2&=& a_1+(a_1+d) =2a_1+d\\
S_3&=& a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d\\
&\vdots \\
S_n&=&\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \text{     และ    } \frac{n}{2}(a_1+a_n)
\end{eqnarray*}$$

สูตร ผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเลขคณิตคือ

$$\displaystyle\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)   \text{   และ   }   \displaystyle\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$$

ข้อสังเกต

 

  • พจน์ที่ $n$ ของอนุกรมเลขคณิตยังคงเป็นสูตรเดียวกับลำดับเลขคณิต คือ $a_n = a_1 \left(n-1\right)d$ เพราะถือว่าเป็นตัวที่ $n$ ไม่ใช่ผลรวม $n$ พจน์
  • ผลรวม $n$ พจน์ หรือ ผลบวก $n$ พจน์ มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าผลบวกย่อย เขียนแทนด้วย $S_n$
  • ใช้สูตร $S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$ เมื่อทราบ $a_1$ และ $d$ โดยไม่ต้องคำนวณพจน์สุดท้าย ($a_n$)
  • ใช้สูตร $S_n = \frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$ เมื่อทราบค่าของ $a_1$ และพจน์สุดท้าย ($a_n$)

ตัวอย่างการหาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต  $3+9+15+21+\ldots$

จากโจทย์อนุกรมที่กำหนดให้มี $a_1=3$ และ $d=6$

จากสูตร $\displaystyle\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ 

จะได้

$$\begin{align*}
S_n=&\frac{n}{2}[2\times 3+(n-1)\times 6]\\
=&\frac{n}{2}[6+(n-1)\times 6]\\
=&\frac{n}{2}(6n)\\
=&3n^2
\end{align*}$$

$3n^2$ 

คำคล้าย: 
  • ลำดับและอนุกรมเลขคณิต
  • Arithmetic Sequence and Arithmetic Series
  • Arithmetic Progression