การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้ง
ในแรกเริ่มเราได้เรียนเกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งมาแล้วว่ามีนิยามเป็นอย่างไร จากนิยามดังกล่าว หลังจากเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับสูตรการหาอนุพันธ์ต่างๆ แล้ว เราสามารถใช้สูตรการหาอนุพันธ์เหล่านั้นช่วยในการแก้ปัญหาความชันของเส้นโค้งได้ โดยสรุปเป็นใจความสำคัญดังนี้
ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด ใดๆ บนเส้นโค้ง หมายถึง ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด ซึ่งเท่ากับ นั่นเอง
สูตรการหาอนุพันธ์จะช่วยให้เราไม่ต้องใช้นิยามในการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด ใดๆ ซึ่งค่อนข้างเสียเวลาและทำได้ยากในเส้นโค้งที่มีสมการซับซ้อน
พื้นฐานสำคัญสำหรับเรื่องนี้คือ เรขาคณิตวิเคราะห์ ครับ โดยเฉพาะเรื่องของความชัน และสมการเส้นตรง
ตัวอย่างการใช้สูตรการหาอนุพันธ์ในการแก้ปัญหาความชันของเส้นโค้ง
ตัวอย่างที่ 1
จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ ที่จุดใดๆ
สำหรับตัวอย่างนี้ หากใช้นิยามความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ จะเสียเวลามาก ดังแสดงใน ตัวอย่างที่ 1 ในหัวข้อความชันของเส้นโค้ง
หากใช้ความรู้ที่ว่า ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด ใดๆ เท่ากับ จะได้
ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดเส้นโค้ง จงหา
(1) ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด
(2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด
(1) ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด
ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด เท่ากับ
(2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด
เนื่องจากความชันของเส้นโค้งที่จุดใด คือความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้น
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด คือ
จากสมการเส้นตรง จะได้
หาค่า โดยการแทนจุด ลงในสมการ
สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด คือ
ตัวอย่างที่ 3
ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ขนานกับเส้นตรง แล้ว จงหาว่าเส้นสัมผัสเส้นนี้สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดใด
พิจารณาเส้นตรง จัดรูปให้อยู่ในรูป จะได้
เนื่องจากเส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรงเส้นนี้ ทำให้มีความชันเท่ากัน ซึ่งก็คือ
ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง จะเท่ากับความชันของเส้นโค้ง นั่นคือ ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ ด้วย จะได้
ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ เมื่อ หาค่า จะได้
จะได้ และ เป็นจุดที่เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ
เส้นสัมผัสเส้นโค้งสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดเส้นโค้ง จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด
จากสมการเส้นโค้ง จะสังเกตได้ว่ามีค่าสัมบูรณ์อยู่ ซึ่งไม่มีสูตรหาอนุพันธ์โดยตรง แต่เมื่อพิจารณาจุด จะเห็นว่า มีค่ามากกว่า ทำให้ จึงสามารถจัดรูปสมการเส้นโค้งใหม่เป็น
หาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด
เนื่องจาก ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด เท่ากับ
ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด เท่ากับ
หากเส้นตรง ตั้งฉากกับ แล้ว ความชันของทั้งสองเส้นจะคูณกันได้ผลลัพธ์เป็น
เส้นตรงดังกล่าวมีสมการเป็น หาค่า โดยการแทนจุด ลงในสมการ
สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด คือ
เราสามารถจัดให้อยู่ในรูป เพื่อให้สมการไม่ติดเศษส่วน จะได้
สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด คือ