การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส (Application Derivative Slope Curve and Tangent Line)


การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้ง

ในแรกเริ่มเราได้เรียนเกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งมาแล้วว่ามีนิยามเป็นอย่างไร จากนิยามดังกล่าว หลังจากเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับสูตรการหาอนุพันธ์ต่างๆ แล้ว เราสามารถใช้สูตรการหาอนุพันธ์เหล่านั้นช่วยในการแก้ปัญหาความชันของเส้นโค้งได้ โดยสรุปเป็นใจความสำคัญดังนี้

 

ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $P(x, y)$ ใดๆ บนเส้นโค้ง $y=f(x)$ หมายถึง ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด $P$ ซึ่งเท่ากับ $f'(x)$ นั่นเอง

 

สูตรการหาอนุพันธ์จะช่วยให้เราไม่ต้องใช้นิยามในการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(x, y)$ ใดๆ ซึ่งค่อนข้างเสียเวลาและทำได้ยากในเส้นโค้งที่มีสมการซับซ้อน

 

พื้นฐานสำคัญสำหรับเรื่องนี้คือ เรขาคณิตวิเคราะห์ ครับ โดยเฉพาะเรื่องของความชัน และสมการเส้นตรง

 

ตัวอย่างการใช้สูตรการหาอนุพันธ์ในการแก้ปัญหาความชันของเส้นโค้ง

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ $y=x^2+2$ ที่จุดใดๆ

สำหรับตัวอย่างนี้ หากใช้นิยามความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ จะเสียเวลามาก ดังแสดงใน ตัวอย่างที่ 1 ในหัวข้อความชันของเส้นโค้ง

หากใช้ความรู้ที่ว่า ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(x, y)$ ใดๆ เท่ากับ $f'(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
slope &=& \frac{d}{dx}(x^2+2)\\
&=& 2x\\
\end{eqnarray*}

ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ เท่ากับ $2x$  


ตัวอย่างที่ 2

 กำหนดเส้นโค้ง $y=x^2-2x+1$ จงหา
(1)  ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(2, 1)$
(2)  สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(2, 1)$

(1)  ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(2, 1)$

\begin{eqnarray*}
slope\mid_{(x, y)} &=& \frac{d}{dx}(x^2-2x+1)\\ 
&=& 2x - 2\\
slope\mid_{(2, 1)} &=& 2(2) - 2\\
&=& 4-2\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(2, 1)$ เท่ากับ $2$ 

(2)  สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(2, 1)$

เนื่องจากความชันของเส้นโค้งที่จุดใด คือความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้น

ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(2, 1)$ คือ $2$

จากสมการเส้นตรง $y=mx+c$ จะได้ $y=2x+c$

หาค่า $c$ โดยการแทนจุด $(2, 1)$ ลงในสมการ

\begin{eqnarray*}
y &=& 2x+c\\
1 &=& 2(2)+c\\
1 &=& 4+c\\
-3 &=& c
\end{eqnarray*}

สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(2, 1)$ คือ $y=2x-3$


ตัวอย่างที่ 3

ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y=1+4x-x^2$ ขนานกับเส้นตรง $2y-4x+1=0$ แล้ว จงหาว่าเส้นสัมผัสเส้นนี้สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดใด

พิจารณาเส้นตรง $2y-4x+1=0$ จัดรูปให้อยู่ในรูป $y=mx+c$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2y-4x+1 &=& 0\\
2y &=& 4x-1\\
y &=& 2x-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

เนื่องจากเส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรงเส้นนี้ ทำให้มีความชันเท่ากัน ซึ่งก็คือ $2$

ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง จะเท่ากับความชันของเส้นโค้ง นั่นคือ ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ $2$ ด้วย จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 2\\
\frac{d}{dx}(1+4x-x^2) &=& 2\\
4-2x &=& 2\\
4-2 &=& 2x\\
2 &=& 2x\\
1 &=& x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ $2$ เมื่อ $x=1$ หาค่า $y$ จะได้

$y=1+4x-x^2=1+4(1)-(1)^2=1+4-1=4$

จะได้ $x=1$ และ $y=4$ เป็นจุดที่เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ $2$

เส้นสัมผัสเส้นโค้งสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด $(1, 4)$ 


ตัวอย่างที่ 4

 กำหนดเส้นโค้ง $y=x^2|x|+\sqrt{x^3}$ จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$

จากสมการเส้นโค้ง $y=x^2|x|+\sqrt{x^3}$ จะสังเกตได้ว่ามีค่าสัมบูรณ์อยู่ ซึ่งไม่มีสูตรหาอนุพันธ์โดยตรง แต่เมื่อพิจารณาจุด $(1, 2)$ จะเห็นว่า $x=1$ มีค่ามากกว่า $0$ ทำให้ $|x|=x$ จึงสามารถจัดรูปสมการเส้นโค้งใหม่เป็น

$y=x^2(x)+\sqrt{x^3}=x^3+x^\frac{3}{2}$

หาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$

\begin{eqnarray*}
slope|_{(x, y)} &=& f'(x)\\
&=& \frac{d}{dx}(x^3+x^\frac{3}{2})\\
&=& 3x^2+\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}\\
&=& 3x^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}\\
slope|_{(1, 2)} &=& 3(1)^2+\frac{3}{2}\sqrt{1}\\
&=& 3+\frac{3}{2}\\
&=& \frac{9}{2}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$ เท่ากับ $\displaystyle \frac{9}{2}$

ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$ เท่ากับ $\displaystyle -\frac{2}{9}$

หากเส้นตรง $L_1$ ตั้งฉากกับ $L_2$ แล้ว ความชันของทั้งสองเส้นจะคูณกันได้ผลลัพธ์เป็น $-1$

เส้นตรงดังกล่าวมีสมการเป็น $\displaystyle y=-\frac{2}{9}x+c$ หาค่า $c$ โดยการแทนจุด $(1, 2)$ ลงในสมการ

\begin{eqnarray*}
y &=& -\frac{2}{9}x+c\\
2 &=& -\frac{2}{9}(1)+c\\
2+\frac{2}{9} &=& c\\
\frac{20}{9} &=& c
\end{eqnarray*}

สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$ คือ $\displaystyle y=-\frac{2}{9}x+\frac{20}{9}$

เราสามารถจัดให้อยู่ในรูป $Ax+By+C=0$ เพื่อให้สมการไม่ติดเศษส่วน จะได้

\begin{eqnarray*}
y &=& -\frac{2}{9}x+\frac{20}{9}\\
9y &=& -2x+20\\
2x+9y-20 &=& 0
\end{eqnarray*}

สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(1, 2)$ คือ $2x+9y-20=0$

 

คำคล้าย: 
  • การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส
  • Application Derivative Slope Curve and Tangent Line