นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Antiderivative and Indefinite Integral)


ปฏิยานุพันธ์

บทนิยาม:  ฟังก์ชัน $F$ เป็นปฏิยานุพันธ์  (antiderivative) หนึ่งของ $f$ ถ้า $F'(x)=f(x)$ สำหรับทุกค่าของ $x$ ที่อยู่ในโดเมนของ $f$

 

ตัวอย่างการตรวจสอบปฏิยานุพันธ์

 ตัวอย่างที่ 1

จงแสดงว่า $F(x)=3x^2+2x-1$ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน $f(x)=6x+2$

$F(x)=3x^2+2x-1$

จะได้ $F'(x)=3(2)x+2+0=6x+2$

นั่นคือ $F'(x)=f(x)$

$F(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$


 

ตัวอย่างที่ 2

จงแสดงว่า $F(x)=\sqrt{x^2-1}$ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

$\displaystyle F(x)=\sqrt{x^2-1}=(x^2-1)^{\frac{1}{2}}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
F'(x) &=& \frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}(2x)\\
&=& \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $F'(x)=f(x)$

 $F(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$


 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ $f(x)=2x$ จงตรวจสอบว่า $F_{1}(x) = x^2+3$ และ $F_{2}(x) = x^2-1$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$ หรือไม่ 

$F_{1}(x) = x^2+3$

จะได้ $F_{1}'(x)=2x$

นั่นคือ $F_{1}'(x)=f(x)$

$F_{2}(x) = x^2-1$

จะได้ $F_{2}'(x)=2x$

นั่นคือ $F_{2}'(x)=f(x)$

ทั้ง $F_{1}(x)$ และ $F_{2}(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$ 

 

จะเห็นว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันมีได้หลายแบบ ซึ่งแต่ละแบบจะแตกต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น สรุปได้ว่า

ถ้า $F$ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ $f$ แล้ว ฟังก์ชัน $G$ ที่นิยามโดย $G(x)=F(x)+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f$ ด้วย

 

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

 ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\int{f(x)dx}$ อ่านว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของฟังก์ชัน $f$ เทียบกับตัวแปร $x$

ดังนั้น ถ้า $F'(x)=f(x)$ แล้ว จะได้ว่า $\int f(x)dx=F(x)+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

จากบทนิยาม

\begin{align*}
\text{เรียก} &\text{กระบวนการ} \int f(x)dx \text{ว่า การหาปริพันธ์ (integration)}\\
&\text{เครื่องหมาย} \int \text{ว่า เครื่องหมายปริพันธ์ (integral)}\\
&f(x) \text{ว่า ตัวถูกปริพันธ์ (integrand)}\\
&dx \text{ว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ (differential)}
\end{align*}

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ตัวอย่างที่ 4

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ $f(x)=6x+2$

เนื่องจาก $F(x)=3x^2+2x$ จะได้ $F'(x)=6x+2=f(x)$

จะได้ว่า $\int (6x+2)dx = F(x)+c = 3x^2+2x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

 $\int (6x+2)dx = 3x^2+2x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว


 

ตัวอย่างที่ 5

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

จาก ตัวอย่างที่ 2 เราทราบว่า ถ้า $\displaystyle F(x)=\sqrt{x^2-1}$

จะได้ $\displaystyle F'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = f(x)$

จะได้ว่า $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = F(x)+c = \sqrt{x^2-1} + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

 $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \sqrt{x^2-1} + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

 

คำคล้าย: 
  • นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
  • Antiderivative and Indefinite Integral