ค่าสัมบูรณ์และสมบัติ (Absolute Value and Property)


นิยามของค่าสัมบูรณ์

นิยามของค่าสัมบูรณ์คือ

$$\displaystyle |x| = \left\{ \begin{array}{cc}
x & ; & x\geq0\\
-x & ; & x < 0
\end{array}\right.$$

ตัวอย่างนิยามของค่าสัมบูรณ์

$|5| = 5$ ได้เลย เพราะ $5 \geq 0$

$|-5| = -(-5) = 5$ เพราะ $-5 < 0$

ค่าสัมบูรณ์ที่จริงแล้วไม่ใช่การเอาเครื่องหมายลบออก แต่เป็นการเติมเครื่องหมายลบเข้าไปเพื่อให้กลายเป็นค่าบวก ความเข้าใจที่ผิดว่าค่าสัมบูรณ์คือการเอาเครื่องหมายลบออก อาจทำให้เรามีปัญหาในการแก้สมการหรืออสมการค่าสัมบูรณ์ และในเรื่องอื่นๆ ได้ 

การถอดค่าสัมบูรณ์ของพหุนาม

 วิธีการถอดค่าสัมบูรณ์ของ $|P(x)|$ เมื่อ $P(x)$ เป็นพหุนาม เราจะต้องพิจารณาว่า $P(x) \geq 0$ เมื่อไร และ $P(x) < 0$ เมื่อไร

ตัวอย่างการถอดค่าสัมบูรณ์ของพหุนาม

$|x - 3|$

เราพิจารณา $x-3$ จะเห็นว่า $x-3 \geq 0$ เมื่อ $x \geq 3$ และ $x-3 < 0$ เมื่อ $x < 3$

ดังนั้น เราถอดค่าสัมบูรณ์โดยนิยามได้ว่า

$$\displaystyle |x-3| = \begin{cases}
x-3 & ; & x\geq3\\
-(x-3) & ; & x < 3
\end{cases}$$


$|x^2 - x - 2|$

เราพิจารณา $x^2 - x - 2$ โดยการจัด $x^2 - x - 2 \geq 0$ แล้วแก้อสมการ

\begin{eqnarray*}
x^2 - x - 2 &\geq& 0\\
(x - 2)(x + 1) &\geq& 0
\end{eqnarray*}

จะได้

นั่นคือ $x^2 - x - 2 \geq 0$ เมื่อ $x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left[ 2, \infty \right)$

ดังนั้น เราถอดค่าสัมบูรณ์โดยนิยามได้ว่า

$$\displaystyle |x^2 - x - 2| = \begin{cases}
x^2 - x - 2 & ; & x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left[ 2, \infty \right)\\
-(x^2 - x - 2) & ; & x \in [-1, 2]
\end{cases}$$

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ใดๆ

  1. $\sqrt{x^2} = |x|$
  2. $|xy| = |x| \cdot |y|$
  3. $\displaystyle \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}$
  4. $|x + y| \leq |x| + |y|$
คำคล้าย: 
  • ค่าสัมบูรณ์และสมบัติ
  • Absolute Value and Property