ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (Absolute Max Min)


ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

 

 

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจข้อแตกต่างระหว่างสัมพัทธ์กับสัมบูรณ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ข้างบน จุด $C$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ส่วนจุด $B$ และจุด $D$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์จะมีกี่ค่าก็ได้ แต่ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะมีได้เพียงอย่างละ $1$ ค่า หรืออาจไม่มีเลย เมื่อพิจารณาในช่วง $x=a$ ถึง $x=b$ แล้ว

  • จุด $D$ จะเป็นจุดต่ำสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าต่ำที่สุดในช่วงดังกล่าว
  • จุด $E$ จะเป็นจุดสูงสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นจุดที่มีค่าสูงที่สุดในช่วงดังกล่าว

สำหรับเนื้อหาในระดับ ม.ปลาย จะกล่าวถึงจุดสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ในช่วงปิด $[a,b]$ ใดๆ เท่านั้น เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันไม่มีที่สิ้นสุด หากไม่มีการกำหนดช่วงปิดมาเป็นขอบเขต เราไม่สามารถหาได้ว่าจุดใดจะเป็นจุดที่อยู่สูงหรือต่ำที่สุดนั่นเอง

 

ขั้นตอนการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด $[a,b]$ ใดๆ ของฟังก์ชัน $y=f(x)$

  1. หาค่าวิกฤต $c$ ตามวิธีการในหัวข้อที่แล้ว
  2. นำค่าวิกฤตมาแทนค่าในฟังก์ชันเพื่อหา $f(c)$
  3. หาค่าของ $f(a)$ และ $f(b)$
  4. เปรียบเทียบค่าที่ได้จากในข้อที่ 1 และ 2 เพื่อดูว่า
    ค่าใดมีค่ามากที่สุด ค่านั้นคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f$
    ค่าใดมีค่าน้อยที่สุด ค่านั้นคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f$
  5. หากต้องการจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ให้ตอบในรูปคู่อันดับ

 

ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1

จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f(x)=x^3-3x+2$ บนช่วงปิด $[0,2]$

จาก $f(x)=x^3-3x+2$

จะได้ $f'(x)=3x^2-3$

หาค่าวิกฤต กำหนด $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
3c^2-3 &=& 0\\
 c^2-1 &=& 0\\
(c-1)(c+1) &=& 0\\
c &=& -1,1
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $-1$ ไม่อยู่ในช่วง $[0,2]$ ค่าวิกฤตจึงมีเพียงค่าเดียวคือ $c=1$

จะได้

$f(1)=1^3-3(1)+2=0$
$f(0)=0^3-3(0)+2=2$
$f(2)=2^3-3(2)+2=4$

จะเห็นว่า $f(2)=4$ มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ $4$

และ $f(1)=0$ มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ $0$

จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง $[0,2]$ คือ $(2,4)$
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง $[0,2]$ คือ $(1,0)$


 

ตัวอย่างที่ 2

 จงหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f(x)=x^3-2x^2-4x+8$ บนช่วงปิด $[-2,3]$

จาก $f(x)=x^3-2x^2-4x+8$

จะได้ $f'(x)=3x^2-4x-4$

หาค่าวิกฤต กำหนด $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
3c^2-4c-4 &=& 0\\
(3c+2)(c-2) &=& 0\\
c &=& -\frac{2}{3},2
\end{eqnarray*}

ค่าวิกฤตมี 2 ค่า คือ $\displaystyle -\frac{2}{3}$ และ $2$

จะได้

$\displaystyle f\left(-\frac{2}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)^3-2\left(-\frac{2}{3}\right)^2-4\left(-\frac{2}{3}\right)+8=\frac{256}{27}$
$f(2)=2^3-2(2)^2-4(2)+8=0$
$f(-2)=(-2)^3-2(-2)^2-4(-2)+8=0$
$f(3)=3^3-2(3)^2-4(3)+8=5$

จะเห็นว่า $\displaystyle f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{256}{27}$ มีค่ามากที่สุด ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ $\displaystyle\frac{256}{27}$

ส่วน $f(2)=f(-2)=0$ มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จึงมีค่าเท่ากับ $0$

เนื่องจากทั้ง $f(2)$ และ $f(-2)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ทั้งคู่ ทำให้มีจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ 2 จุด

จุดสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง $[-2,3]$ คือ $\displaystyle \left(-\frac{2}{3},\frac{256}{27}\right)$
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันในช่วง $[-2,3]$ คือ $(2,0)$ และ $(-2,0)$

 

คำคล้าย: 
  • ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
  • จุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
  • Absolute Max Min