กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดการดำเนินการ $a \otimes b$ ดังนี้

$1) \;\;$ $1 \otimes b = b$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $b$
$2) \;\;$ $(1 + a) \otimes b = a \otimes (a \otimes b)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $a, b$

ถ้า

$A = (2 \otimes 5) + (5 \otimes 9)$
$B = 2 \otimes \Big(5 \otimes (5 \otimes 9)\Big)$
$C = \Big((9 \otimes 5) \otimes 5\Big) \otimes 2$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการดำเนินการ $\otimes$[/STEP]

จากเงื่อนไขการดำเนินการ $\otimes$ เมื่อลองพิจารณา สมมติให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก

\begin{eqnarray*}
1 \otimes x &=& x\\
2 \otimes x &=& (1+1) \otimes x = 1 \otimes (1\otimes x) = 1 \otimes x = x\\
3 \otimes x &=& (1+2) \otimes x = 2 \otimes (2\otimes x) = 2 \otimes x = x\\
4 \otimes x &=& (1+3) \otimes x = 3 \otimes (3\otimes x) = 3 \otimes x = x\\
&\vdots&
\end{eqnarray*}

เราจึงสรุปได้ว่า $a \otimes b = b$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$

[STEP]หาค่าของ $A, B$ และ $C$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A &=& (2 \otimes 5) + (5 \otimes 9) = 5 + 9 = 14\\
B &=& 2 \otimes\Big (5 \otimes (5 \otimes 9)\Big) = 2 \otimes (5 \otimes 9) = 2 \otimes 9 = 9\\
C &=& \Big((9 \otimes 5) \otimes 5\Big) \otimes 2 = (5 \otimes 5) \otimes 2 = 5 \otimes 2 = 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $C < B < A$

[ANS]$C < B < A$[/ANS]