,

แก้อสมการ

$$\begin{eqnarray*} f(a) &>& f(2-a)\\ a^3 - 3a^2 + 4 &>& (2-a)^3 - 3(2-a)^2 + 4\\ a^3 - 3a^2 + 4 &>& (8 - 12a + 6a^2 - a^3) - 3(4 - 4a + a^2) + 4\\ a^3 - 3a^2 + 4 &>& 8 - 12a + 6a^2 - a^3 - 12 + 12a - 3a^2 + 4\\ \end{eqnarray*}$$

จัดรูปมาไว้ฝั่งเดียวกัน

$$\begin{eqnarray*} a^3 - 3a^2 + 4 &>& \cancel{8} \cancel{- 12a} + 6a^2 - a^3 \cancel{- 12} + \cancel{12a} - 3a^2 + \cancel{4}\\ a^3 - 3a^2 + 4 &>& -a^3 + 3a^2\\ 2a^3 - 6a^2 + 4 &>& 0\\ a^3 - 3a^2 + 2 &>& 0 \end{eqnarray*}$$

หารสังเคราะห์ด้วย $1$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} (a-1)(a^2 - 2a - 2) &>& 0 \end{eqnarray*}$$

วงเล็บที่ $2$ แยกตัวประกอบไม่ได้ ลองใช้สูตรจะได้ว่า $$\displaystyle a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

วาดเส้นจำนวนเพื่อหาคำตอบ

ได้คำตอบของอสมการคือ $a \in (1-\sqrt{3} , 1) \cup (1+\sqrt{3} , \infty)$ ซึ่ง $a \in (0, 1)$ นั้นเป็นสับเซตของคำตอบ

ข้อ ก. ถูกต้อง

,

แก้อสมการ

$$\begin{eqnarray*} f(x) &<& 4\\ x^3 - 3x^2 + 4 &<& 4\\ x^3 - 3x^2 &<& 0\\ x^2(x-3) &<& 0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่ง $x^2 \geq 0$ เราจึงได้ว่า $x-3$ นั้นต้องติดลบ จึงจะคูณกับ $x^2$ แล้วน้อยกว่า $0$ ตามต้องการ

$$\begin{eqnarray*} x-3 &<& 0\\ x &<& 3 \end{eqnarray*}$$

แต่มีเงื่อนไขคือ $x \neq 0$ เพราะหาก $x = 0$ จะได้ $x^2 (x-3) = 0$ ซึ่งผิด

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 3)$ ซึ่ง $x<0$ เป็นสับเซตของคำตอบ

ข้อ ข. ถูกต้อง

,

หาค่าวิกฤตของ $f$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต จะได้

$$\begin{eqnarray*} f'(c) &=& 0\\ 3c^2 - 6c &=& 0\\ c^2 - 2c &=& 0\\ c(c-2) &=& 0 \end{eqnarray*}$$

ค่าวิกฤตคือ $c = 0$ และ $c = 2$

ตรวจสอบค่าวิกฤต $$f''(x) = 6x - 6$$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} f''(0) &=& 6(0) - 6 = -6 < 0\\ f''(2) &=& 6(2) - 6 = 6 > 0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น ค่าวิกฤตที่ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $2$

ข้อ ค. ถูกต้อง