กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า $0<a<1$ แล้ว $f(a) > f(2-a)$
ข. $f(x) < 4$ สำหรับทุกๆ $x < 0$
ค. $f$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ $x = 2$

ข้อใดถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อ ก.[/STEP]

แก้อสมการ

\begin{eqnarray*}
f(a) &>& f(2-a)\\
a^3 - 3a^2 + 4 &>& (2-a)^3 - 3(2-a)^2 + 4\\
a^3 - 3a^2 + 4 &>& (8 - 12a + 6a^2 - a^3) - 3(4 - 4a + a^2) + 4\\
a^3 - 3a^2 + 4 &>& 8 - 12a + 6a^2 - a^3 - 12 + 12a - 3a^2 + 4\\
\end{eqnarray*}

จัดรูปมาไว้ฝั่งเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
a^3 - 3a^2 + 4 &>& \cancel{8} \cancel{- 12a} + 6a^2 - a^3 \cancel{- 12} + \cancel{12a} - 3a^2 + \cancel{4}\\
a^3 - 3a^2 + 4 &>& -a^3 + 3a^2\\
2a^3 - 6a^2 + 4 &>& 0\\
a^3 - 3a^2 + 2 &>& 0
\end{eqnarray*}

หารสังเคราะห์ด้วย $1$

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 8 รูป 1

จะได้

\begin{eqnarray*}
(a-1)(a^2 - 2a - 2) &>& 0
\end{eqnarray*}

วงเล็บที่ $2$ แยกตัวประกอบไม่ได้ ลองใช้สูตรจะได้ว่า $$\displaystyle a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

วาดเส้นจำนวนเพื่อหาคำตอบ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 8 รูป 2

ได้คำตอบของอสมการคือ $a \in (1-\sqrt{3} , 1) \cup (1+\sqrt{3} , \infty)$ ซึ่ง $a \in (0, 1)$ นั้นเป็นสับเซตของคำตอบ

ข้อ ก. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ข.[/STEP]

แก้อสมการ

\begin{eqnarray*}
f(x) &<& 4\\
x^3 - 3x^2 + 4 &<& 4\\
x^3 - 3x^2 &<& 0\\
x^2(x-3) &<& 0
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $x^2 \geq 0$ เราจึงได้ว่า $x-3$ นั้นต้องติดลบ จึงจะคูณกับ $x^2$ แล้วน้อยกว่า $0$ ตามต้องการ

\begin{eqnarray*}
x-3 &<& 0\\
x &<& 3
\end{eqnarray*}

แต่มีเงื่อนไขคือ $x \neq 0$ เพราะหาก $x = 0$ จะได้ $x^2 (x-3) = 0$ ซึ่งผิด

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 3)$ ซึ่ง $x<0$ เป็นสับเซตของคำตอบ

ข้อ ข. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ค.[/STEP]

หาค่าวิกฤตของ $f$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(c) &=& 0\\
3c^2 - 6c &=& 0\\
c^2 - 2c &=& 0\\
c(c-2) &=& 0
\end{eqnarray*}

ค่าวิกฤตคือ $c = 0$ และ $c = 2$

ตรวจสอบค่าวิกฤต $$f''(x) = 6x - 6$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
f''(0) &=& 6(0) - 6 = -6 < 0\\
f''(2) &=& 6(2) - 6 = 6 > 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ค่าวิกฤตที่ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $2$

ข้อ ค. ถูกต้อง

[ANS]ก, ข และ ค ถูกทั้งสามข้อ[/ANS]

ข้อ ก. กับ ข. หากแก้สมการตรงๆ แบบเฉลยด้านบนจะเสียเวลามาก หากเราเข้าใจคอนเซปท์ของค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์จะช่วยให้เราตอบคำถามได้โดยไม่ต้องแก้อสมการเลย ดังนี้

จากค่าวิกฤต $0$ และ $2$ เราได้ว่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $f(2) = 0$ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ $f(0) = 4$

หรือนั่นคือ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ $(0, 2)$ และจุดสูงสุดสัมพัทธ์ $(0, 4)$ นำมาวาดกราฟ $f(x)$ จะได้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 8 กราฟ f(x)

ข้อ ก. กำหนด $0<a<1$ ดังนั้น $1 < 2-a < 2$ แสดงว่า

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 8 กราฟ f(x) ข้อ ก.

ซึ่งเมื่อดูจากกราฟแล้ว $f(a)$ อยู่สูงกว่า $f(2-a)$ แสดงว่า $f(a) > f(2-a)$ จริงๆ

ในทำนองเดียวกันสำหรับข้อ ข. จะสังเกตเห็นว่าเมื่อ $x<0$ (ทางซ้ายของแกน $Y$ กราฟจะอยู่ต่ำกว่า $y = 4$ เสมอ แสดงว่า $f(x) < 4$ ถูกต้อง

ความรู้ที่ใช้ : สมการเชิงอนุพันธ์ สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ การแก้อสมการพหุนาม