กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่

\begin{eqnarray*}
& f(x) &=& \left\{ \begin{matrix} x+1 & , & -1<x<1 \\ 3 & , & x \geq 1 \end{matrix} \right. \\
\text{และ}\;\; & g(x) &=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;\text{เมื่อ}\; -1 < x < 1
\end{eqnarray*}

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $(f \circ g)(x) = 3$ สำหรับทุก $x \in (-1, 1)$
ข. $\displaystyle (fg)(x) = {1}{\sqrt{1-x^2}} + 1$ สำหรับทุก $x \in (-1, 1)$
ค. $\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right) (x) = (x+1) \sqrt{1-x^2}$ สำหรับทุก $x \in (-1, 1)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่าของ $g(x)$[/STEP]

พิจารณาค่าของ $g(x)$ เมื่อ $x \in (-1, 1)$

\begin{gather}
-1 &<& x &<& 1\\
0 &\leq& x^2 &<& 1\\
-1 &<& -x^2 &\leq& 0\\
0 &<& 1-x^2 &\leq& 1
\end{gather}

ถอดสแคว์รูท จะได้

\begin{gather}
0 &<& \sqrt{1-x^2} &\leq& 1
\end{gather}

จัดรูปอสมการฝั่งขวา

\begin{eqnarray*}
\sqrt{1-x^2} &\leq& 1\\
1 &\leq& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
1 &\leq& g(x)
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $g(x) \geq 1$ เมื่อ $x \in (-1, 1)$

[STEP]พิจารณาค่าของ $(f \circ g)(x)$[/STEP]

เมื่อ $g(x) \geq 1$ ดังนั้น $(f \circ g)(x) = f[g(x)]$ ต้องเลือกใช้เงื่อนไขล่างคือ $f(x) = 3$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันคงที่ ดังนั้น $(f \circ g)(x) = 3$ เช่นกัน

ข้อ ก. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา $(fg)(x)$[/STEP]

สำหรับผลคูณของฟังก์ชัน $$(fg)(x) = f(x) g(x)$$

ในช่วง $x \in (-1, 1)$ ต้องเลือกใช้ $f$ เงื่อนไขบน จะได้

\begin{eqnarray*}
(fg)(x) &=& (x+1) \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)\\
&=& \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{eqnarray*}

ข้อ ข. ผิด

[STEP]พิจารณา $\left(\dfrac{f}{g} \right)(x)$[/STEP]

สำหรับผลหารของฟังก์ชัน $$\displaystyle \left(\frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$

ในช่วง $x \in (-1, 1)$ ต้องเลือกใช้ $f$ เงื่อนไขบน จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{f}{g} \right)(x) &=& \frac{x+1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\
&=& (x+1)\sqrt{1-x^2}
\end{eqnarray*}

ข้อ ค. ถูกต้อง

[ANS]ข้อ ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โดเมน-เรนจ์ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันคอมโพสิท พีชคณิตของฟังก์ชัน