ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \log_3 (4^x + 137) < 2 + \log_3 (1+2^{x+2})$

แล้ว $A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\log$ ให้เป็นฐานเดียวกัน[/STEP]

สังเกตเห็นว่าในอสมการเป็น $\log$ ฐาน $3$ อยู่แล้ว $2$ พจน์

ดังนั้น เราจะเปลี่ยน $2$ ให้อยู่ในรูป $\log$ ฐาน $3$ ด้วย $$\displaystyle 2 = 2 \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9$$

[STEP]ใช้สมบัติ $\log$ แล้วถอด $\log$ ออก[/STEP]

แทนในอสมการจะได้

\begin{eqnarray*}
\log_3 (4^x + 137) &<& \log_3 9 + \log_3 (1+2^{x+2})\\
\log_3 (4^x + 137) &<& \log_3 9(1+2^{x+2})
\end{eqnarray*}

เนื่องจากเป็นฐาน $3$ แสดงว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่ม สามารถถอด $\log$ ได้เลยโดยไม่ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ

\begin{eqnarray*}
4^x + 137 &<& 9(1+2^{x+2})
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้อสมการต่อ[/STEP]

จัดรูป $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ และ $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

\begin{eqnarray*}
(2^x)^2 + 137 &<& 9(1 + 4 \cdot 2^x)\\
(2^x)^2 + 137 &<& 9 + 36 \cdot 2^x\\
(2^x)^2 - 36 \cdot 2^x + 128 &<& 0\\
(2^x - 4)(2^x - 32) &<& 0
\end{eqnarray*}

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 6 รูป 1

[STEP]หาค่า $x$[/STEP]

เราได้ว่า $$4 < 2^x < 32$$

ดังนั้น

\begin{gather}
4 &<& 2^x &<& 32\\
2^2 &<& 2^x &<& 2^5\\
2 &<& x &<& 5
\end{gather}

ซึ่งเป็นสับเซตของ $(1, 6)$

[ANS]$(1, 6)$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป การแก้อสมการลอการิทึม การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลแบบต้องแยกตัวประกอบ