ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $|x+1| + |x+2| = 3x$

แล้ว $A$ เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]สังเกตค่า $x$ เพื่อถอดค่าสัมบูรณ์[/STEP]

จากสมการ $$|x+1| + |x+2| = 3x$$

จะเห็นว่าฝั่งซ้ายมือเป็นค่าสัมบูรณ์ $2$ ตัว บวกกัน แสดงว่าต้องมีค่าไม่ติดลบแน่ๆ

ดังนั้นเราจึงได้ว่าทางขวามือ $$3x \geq 0$$

ด้วยเช่นกัน หรือหมายความว่า $x \geq 0$ นั่นเอง

เมื่อ $x \geq 0$ เราจึงได้ว่า $x + 1$ และ $x + 2$ ย่อมไม่ติดลบ แสดงว่าเราสามารถถอดค่าสัมบูรณ์ทั้ง $2$ ตัว ได้เลย

[STEP]แก้สมการ[/STEP]

เราถอดค่าสัมบูรณ์ออกทั้งหมด จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+1) + (x+2) &=& 3x\\
2x + 3 &=& 3x\\
3 &=& x
\end{eqnarray*}

[STEP]ตรวจสอบว่าเซตคำตอบเป็นสับเซตของตัวเลือกใด[/STEP]

เนื่องจากเป็นสมการที่มีเพียงคำตอบเดียว วิธีตรวจสอบตัวเลือกที่ง่ายและเร็วที่สุดคือลองแทนค่าดูเลย ไม่ต้องแก้อสมการในเซตให้เสียเวลา

ตัวเลือก A

\begin{eqnarray*}
|3+2| &\geq& 2|3-3|\\
|5| &\geq& 2|0|\\
5 &\geq& 0
\end{eqnarray*}

เป็นจริง แสดงว่าตอบตัวเลือก A

ตัวเลือก B

\begin{gather}
0 &<& |3| &<& 3\\
0 &<& 3 &<& 3
\end{gather}

ไม่จริง

ตัวเลือก C

\begin{eqnarray*}
|5 - 2(3)| &>& 3\\
|5 - 6| &>& 3\\
|-1| &>& 3\\
1 &>& 3
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

ตัวเลือก D

\begin{eqnarray*}
(3-1)(3-2) &<& 0\\
(2)(1) &<& 0\\
2 &<& 0
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

ตัวเลือก E

\begin{eqnarray*}
(3+1)(3-5) &\geq& 0\\
(4)(-2) &\geq& 0\\
-8 &\geq& 0
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

[ANS]$\Big\{ x \in R \;|\; |x+2| \geq 2 |x-3| \Big\}$[/ANS]

ข้อนี้ถ้าทำวิธีตรงๆ คือต้องแบ่งช่วงในการแก้สมการ ซึ่งเสียเวลามาก เพราะฉะนั้นเวลาเจอโจทย์แนวนี้ควรสังเกตดีๆ หาเทคนิคให้เจอครับ

ความรู้ที่ใช้ : ค่าสัมบูรณ์และสมบัติ การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์