กำหนดให้ $x \geq 0$ และ $y \geq 0$ ซึ่งสอดคล้องกับ

$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \right)^{2x+3y} \leq (\sqrt{2} + 1)^{12}$ และ $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{3x - 2y} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{5}$

แล้ว จงหาค่ามากที่สุดของ $2x+5y$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปอสมการแรก[/STEP]

จากอสมการ $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \right)^{2x+3y} \leq (\sqrt{2} + 1)^{12}$$

จัดรูปพจน์ในวงเล็บซ้ายมือโดยการคูณด้วยคอนจูเกต

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{2} - 1} &=& \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}\\
&=& \frac{\sqrt{2}+1}{{\sqrt{2}}^2 - 1^2}\\
&=& \frac{\sqrt{2}+1}{2-1}\\
&=& \sqrt{2}+1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า อสมการคือ $$\displaystyle \left( \sqrt{2}+1 \right)^{2x+3y} \leq (\sqrt{2} + 1)^{12}$$

ซึ่ง $\sqrt{2}+1 > 1$ เมื่อนำมายกกำลังแล้วเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ตัดฐานของเลขชี้กำลังแล้วไม่ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ จะได้

$$\displaystyle 2x+3y \leq 12$$

[STEP]จัดรูปอสมการที่สอง[/STEP]

จากอสมการ $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{3x - 2y} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{5}$$

จะเห็นว่าฐานเท่ากันอยู่แล้ว ไม่ต้องจัดรูป สามารถพิจารณาเพื่อตัดฐานได้เลย

เนื่องจากฐานคือ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ มีค่าน้อยกว่า $1$ เมื่อนำมายกกำลังแล้วเป็นฟังก์ชันลด ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ จะได้

$$\displaystyle 3x - 2y \leq 5$$

[STEP]นำอสมการทั้งหมดมาพิจารณาในรูปกำหนดการเชิงเส้น[/STEP]

ตอนนี้เรามีอสมการทั้งหมด $4$ อสมการ คือ

\begin{eqnarray*}
2x+3y &\leq& 12\\
3x - 2y &\leq& 5\\
x &\geq& 0\\
y &\geq& 0
\end{eqnarray*}

[STEP]วาดกราฟของอสมการทั้ง $4$ อสมการ[/STEP]

อสมการ $2x+3y \leq 12$

วาดกราฟ $2x + 3y = 12$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y = 0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2x + 3(0) &=& 12\\
2x &=& 12\\
x &=& 6
\end{eqnarray*}

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x = 0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2(0) + 3y &=& 12\\
3y &=& 12\\
y &=& 4
\end{eqnarray*}

แสดงว่าตัดแกน $X$ ที่ $(6, 0)$ และตัดแกน $Y$ ที่ $(0, 4)$ ได้กราฟคือ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 45 กราฟ 1

ทดลองแทนค่าจุด $(0,0)$ ในอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
2(0) + 3(0) &\leq& 12\\
0 &\leq& 12
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง กราฟอสมการจึงเป็นพื้นที่ด้านล่างของเส้นตรง ดังนี้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 45 กราฟ 2

อสมการ $3x - 2y \leq 5$

วาดกราฟ $3x - 2y = 5$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y = 0$

\begin{eqnarray*}
3x - 2(0) &=& 5\\
3x &=& 5\\
x &=& \frac53
\end{eqnarray*}

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x = 0$

\begin{eqnarray*}
3(0) - 2y &=& 5\\
-2y &=& 5\\
y &=& -\frac52
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $X$ ที่ $\left( \frac53 , 0 \right)$ และตัดแกน $Y$ ที่ $\left( 0, -\frac52 \right)$ ได้กราฟคือ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 45 กราฟ 3

ทดลองแทนค่าจุด $(0,0)$ ในอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
3(0) - 2(0) &\leq& 5\\
0 &\leq& 5
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง กราฟของอสมการจึงเป็นพื้นที่ด้านบนของเส้นตรง ดังนี้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 45 กราฟ 4

ส่วนอีก $2$ อสมการ คือ $x \geq 0$ และ $y \geq 0$ หมายถึงเราจะพิจารณาเฉพาะพื้นที่ในควอดรันต์ที่ $1$ เท่านั้น

[STEP]วาดกราฟทั้ง $4$ อสมการ บนระบบพิกัดฉากเดียวกัน[/STEP]

เรานำกราฟทั้ง $4$ อสมการ มาวาดแล้วเลือกพื้นที่ส่วนที่ซ้อนกัน จะได้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 45 กราฟ 5

เราทราบจุดมุมของพื้นที่แรเงาแล้ว $3$ จุด ขาดอีก $1$ จุด คือจุดตัดของกราฟเส้นตรงทั้งสองเส้น

[STEP]หาจุดตัดของกราฟ[/STEP]

หาจุดตัดโดยแก้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
2x + 3y &=& 12 &----& (1)\\
3x - 2y &=& 5 & ---- & (2)
\end{eqnarray*}

ทำสัมประสิทธิ์หน้า $y$ ให้เท่ากัน นำสมการ $(1) \times 2$

\begin{eqnarray*}
4x + 6y &=& 24 & ---- & (3)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) \times 3$

\begin{eqnarray*}
9x - 6y &=& 15 & ---- & (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(3) + (4)$

\begin{eqnarray*}
(4x + 6y) + (9x - 6y) &=& 24 + 15\\
13x &=& 39\\
x &=& 3
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
2(3) + 3y &=& 12\\
6 + 3y &=& 12\\
3y &=& 6\\
y &=& 2
\end{eqnarray*}

แสดงว่า จุดตัดดังกล่าวคือ $(3, 2)$

[STEP]นำจุดมุมทั้ง $4$ จุด มาหาค่ามากที่สุดของ $2x + 5y$[/STEP]

$(x, y)$ $2x + 5y$
$(0, 0)$ $2(0) + 5(0) = 0$
$(0, 4)$ $2(0) + 5(4) = 20$
$\displaystyle \left( \frac53 , 0 \right)$ $\displaystyle 2 \left( \frac53 \right) + 5 (0) = \frac{10}{3}$
$(3, 2)$ $2(3) + 5(2) = 6 + 10 = 16$

ค่ามากที่สุดของ $2x + 5y$ เท่ากับ $20$ นั่นเอง

[ANS]$20$[/ANS]

ข้อนี้ยากตรงที่หลายๆ คนจะไม่คิดว่าเป็นโจทย์กำหนดการเชิงเส้น หลังจากที่ได้อสมการ

\begin{eqnarray*}
2x+3y &\leq& 12\\
3x - 2y &\leq& 5
\end{eqnarray*}

แล้ว มักจะพลาดโดยคิดว่าเอาไปแก้เหมือนระบบสมการได้ ก็จะผิดไป

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล การหาคำตอบของปัญหากำหนดการเชิงเส้น