ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $2f(x) - f(x^{-1}) = x + x^{-1}$ เมื่อ $x \neq 0$

ถ้า $\displaystyle \left| f \left( \frac34 \right) \right| = \frac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เท่ากับ $1$ แล้ว จงหาค่าของ $a+b$

เฉลยละเอียด

[STEP]ลองแทน $x$ ด้วย $x^{-1}$[/STEP]

จากสมการ $$2f(x) - f(x^{-1}) = x + x^{-1}$$

ข้อสังเกตคือมีทั้ง $x$ และ $x^{-1}$ อยู่ เราลองแทนค่า $x$ ด้วย $x^{-1}$

\begin{eqnarray*}
2f(x^{-1}) - f[(x^{-1})^{-1}] &=& x^{-1} + (x^{-1})^{-1}
\end{eqnarray*}

แต่ $(x^{-1})^{-1} = x$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
2f(x^{-1}) - f(x) &=& x^{-1} + x
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $f(x)$[/STEP]

ตอนนี้เรามี $2$ สมการ คือ

\begin{eqnarray*}
2f(x) - f(x^{-1}) &=& x + x^{-1} &----& (1)\\
2f(x^{-1}) - f(x) &=& x^{-1} + x &----& (2)
\end{eqnarray*}

แก้ระบบสมการเพื่อกำจัด $f(x^{-1})$ นำ $(1) \times 2$

\begin{eqnarray*}
4f(x) - 2f(x^{-1}) &=& 2x + 2x^{-1} &----& (3)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) + (3)$

\begin{eqnarray*}
[2f(x^{-1}) - f(x)] + [4f(x) - 2f(x^{-1})] &=& (x^{-1} + x) + (2x + 2x^{-1})\\
3f(x) &=& 3x^{-1} + 3x\\
f(x) &=& x^{-1} + x
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่าหา $\displaystyle \left| f \left( \frac34 \right) \right|$[/STEP]

แทนค่า $x = \dfrac34$

\begin{eqnarray*}
f \left( \frac34 \right) &=& \left( \frac34 \right)^{-1} + \left( \frac34 \right)\\
&=& \frac43 + \frac34\\
&=& \frac{16 + 9}{12}\\
&=& \frac{25}{12}
\end{eqnarray*}

โจทย์บอกว่า $\displaystyle \left| f \left( \frac34 \right) \right| = \frac{a}{b}$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
\left| f \left( \frac34 \right) \right| &=& \frac{a}{b}\\
\left| \frac{25}{12} \right| &=& \frac{a}{b}\\
\frac{25}{12} &=& \frac{a}{b}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง ห.ร.ม. ของ $25$ และ $12$ เท่ากับ $1$ อยู่แล้ว

ดังนั้น $a = 25$ และ $b = 12$ จะได้ $$a+b = 25+12 = 37$$

[ANS]$37$[/ANS]

ข้อนี้ยากที่ตอนเริ่มต้นครับ ว่าเราจะเริ่มแทนค่า $x$ อย่างไร เพื่อให้สามารถหา $f(x)$ ได้

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชัน อินเวอร์สฟังก์ชัน