กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f'(x) = ax^2 + bx$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $f$ สอดคล้องกับ $\displaystyle f''(1) = 3f'(1), \int_1^2 f(x) dx = 18$ และเส้นตรง $6x - y + 4 = 0$ ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y = f(x)$ ที่จุด $x=1$ แล้ว จงหาค่าของ $f(2)$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมการ $\displaystyle f''(1) = 3f'(1)$[/STEP]

จาก $f'(x) = ax^2 + bx$

หาอนุพันธ์อันดับที่สอง จะได้ $$f''(x) = 2ax + b$$

แทนในสมการ $\displaystyle f''(1) = 3f'(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a(1) + b &=& 3 [a(1^2) + b(1)]\\
2a + b &=& 3(a+b)\\
2a + b &=& 3a + 3b\\
-2b &=& a
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาความชันของเส้นโค้ง[/STEP]

เนื่องจากเส้นตรง $6x - y + 4 = 0$ ขนานกับ $y=f(x)$ ที่จุด $x = 1$

แสดงว่าความชันของเส้นตรงจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งที่จุด $x=1$

หาความชันของเส้นตรง

\begin{eqnarray*}
6x - y + 4 &=& 0\\
6x + 4 &=& y
\end{eqnarray*}

อยู่ในรูป $y = mx + c$ แสดงว่า ความชันของเส้นตรงคือ $m = 6$

ความชันของเส้นโค้ง $y = f(x)$ ที่จุด $x = 1$ คือ $f'(1)$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(1) &=& 6 &&\\
a(1^2) + b(1) &=& 6&&\\
a+b &=& 6 &----& (1)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $a$ และ $b$[/STEP]

จากขั้นตอนแรก เราได้ว่า $a = -2b$

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
a+b &=& 6\\
-2b + b &=& 6\\
-b &=& 6\\
b &=& -6
\end{eqnarray*}

และ $$a = -2b = -2(-6) = 12$$

[STEP]พิจารณา $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx = 18$[/STEP]

เราได้ว่า $f'(x) = 12x^2 - 6x$

อินทิเกรตเพื่อหา $f(x)$

\begin{eqnarray*}
\int f'(x) dx &=& \int (12x^2 - 6x) dx\\
f(x) &=& \frac{12x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + c\\
&=& 4x^3 - 3^2 + c
\end{eqnarray*}

อินทิเกรตจำกัดเขต

\begin{eqnarray*}
\int_1^2 (4x^3 - 3x^2 + c) dx &=& 18\\
\left[ \frac{4x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + cx \right]_1^2 &=& 18\\
\left[ x^4 - x^3 + cx \right]_1^2 &=& 18
\end{eqnarray*}

แทนค่าขอบเขต

\begin{eqnarray*}
(2^4 - 2^3 + 2c) - (1^4 - 1^3 + c) &=& 18\\
(16 - 8 + 2c) - (1 - 1 + c) &=& 18\\
8 + 2c - c &=& 18\\
c &=& 10
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $f(2)$[/STEP]

เราได้ว่า $f(x) = 4x^3 - 3^2 + 10$

ดังนั้น $$f(2) = 4(2^3) - 3(2^2) + 10 = 4(8) - 3(4) + 10 = 32 - 12 + 10 = 30$$

[ANS]$30$[/ANS]

หากเราทำตามลำดับข้อมูลที่โจทย์ให้มา คือหลังจากทำสมการ $\displaystyle f''(1) = 3f'(1)$ แล้วไปอินทิเกรต $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx = 18$ เลย จะยุ่งยากและติดตัวแปรเยอะมาก เราจึงควรอ่านโจทย์ให้ครบและเลือกนำข้อมูลที่ง่ายต่อการจัดรูปและคำนวณมาทำก่อน ไม่ควรอ่านโจทย์ไปทำไป

อีกสิ่งหนึ่งที่ต้องระวังสำหรับข้อนี้คือ โจทย์ให้เรา $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$ แต่เรามี $f'(x)$ หมายความว่าเราต้องอินทิเกรตเพื่อหา $f(x)$ ก่อน แล้วอินทิเกรตอีกรอบ ไม่ใช่เอา $f'(x)$ ไปอินทิเกรตจำกัดเขตได้เลย

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต