ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$\sqrt{2x-3} + \sqrt{5x+1} = \sqrt{3x-5} + \sqrt{4x+3}$$

ถ้า $B = \{ x^2 \;|\; x \in A\}$ แล้ว จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $B$

 

เฉลยละเอียด

[STEP]ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้สแควรูทหลุดออก[/STEP]

จากสมการ $$\sqrt{2x-3} + \sqrt{5x+1} = \sqrt{3x-5} + \sqrt{4x+3}$$

เรายกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(\sqrt{2x-3} + \sqrt{5x+1})^2 &=& (\sqrt{3x-5} + \sqrt{4x+3})^2\\
(\sqrt{2x-3})^2 + 2 (\sqrt{2x-3}) (\sqrt{5x+1}) + (\sqrt{5x+1})^2 &=& (\sqrt{3x-5})^2 + 2 (\sqrt{3x-5}) (\sqrt{4x+3}) + (\sqrt{4x+3})^2\\
2x - 3 + 2 \sqrt{(2x-3)(5x+1)} + 5x+1 &=& 3x-5 + 2 \sqrt{(3x-5)(4x+3)} + 4x+3\\
7x - 2 + 2 \sqrt{(2x-3)(5x+1)} &=& 7x - 2 + 2 \sqrt{(3x-5)(4x+3)}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $7x - 2$ ตัดกันทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\cancel{7x - 2} + 2 \sqrt{(2x-3)(5x+1)} &=& \cancel{7x - 2} + 2 \sqrt{(3x-5)(4x+3)}\\
2 \sqrt{(2x-3)(5x+1)} &=& 2 \sqrt{(3x-5)(4x+3)}\\
\sqrt{(2x-3)(5x+1)} &=& \sqrt{(3x-5)(4x+3)}
\end{eqnarray*}

[STEP]ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกหนึ่งรอบ[/STEP]

เรายกกำลังสองทั้งสองข้างอีกรอบเพื่อให้สแควรูทหลุด

\begin{eqnarray*}
(\sqrt{(2x-3)(5x+1)})^2 &=& (\sqrt{(3x-5)(4x+3)})^2\\
(2x-3)(5x+1) &=& (3x-5)(4x+3)
\end{eqnarray*}

[STEP]กระจายทั้งสองข้างแล้วจัดในรูปสมการพหุนามกำลังสอง[/STEP]

\begin{eqnarray*}
10x^2 + 2x - 15x - 3 &=& 12x^2 + 9x - 20x - 15\\
10x^2 - 13x - 3 &=& 12x^2 - 11x - 15\\
0 &=& 2x^2 + 2x -12\\
0 &=& x^2 + x - 6
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
0 &=& x^2 + x - 6\\
0 &=& (x+3)(x-2)\\
x &=& -3, 2
\end{eqnarray*}

[STEP]ตรวจคำตอบ[/STEP]

คำตอบที่ได้จากการยกกำลังสองเพื่อแก้สมการต้องตรวจคำตอบด้วย

ตรวจสอบ $x = -3$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2(-3)-3} + \sqrt{5(-3)+1} &=& \sqrt{3(-3)-5} + \sqrt{4(-3)+3}\\
\sqrt{-9} + \sqrt{-14} &=& \sqrt{-14} + \sqrt{-9}
\end{eqnarray*}

แม้ทั้งสองข้างจะเท่ากัน แต่ข้อนี้โจทย์กำหนดให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

แต่จากการตรวจสอบ เมื่อแทนค่า $x = -3$ จะได้ว่าในสแควรูทติดลบ หรือเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น $x = -3$ จึงไม่ใช่คำตอบของสมการ

ตรวจสอบ $x = 2$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2(2)-3} + \sqrt{5(2)+1} &=& \sqrt{3(2)-5} + \sqrt{4(2)+3}\\
\sqrt{1}| + \sqrt{11} &=& \sqrt{1} + \sqrt{11}
\end{eqnarray*}

ทั้งสองข้างเท่ากันจริง และในสแควรูทไม่ติดลบ ดังนั้น $x = 2$ เป็นคำตอบของสมการ

[STEP]หาผลบวกของสมาชิกในเซต $B$[/STEP]

จากคำตอบของสมการคือ $x = 2$ แสดงว่า $$A = \{ 2 \}$$

และเซต $B$ คือ $$B = \{ 2^2 \} = \{ 4 \}$$

มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดจึงเท่ากับ $4$

[ANS]$4$[/ANS]

เหตุผลที่ต้องตรวจคำตอบที่ได้จากการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ คือการยกกำลังสองอาจทำให้สมการที่ไม่เป็นจริง กลายเป็นจริงได้ เช่น

\begin{eqnarray*}
-1 &=& 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง แต่เมื่อยกกำลังสอง จะได้

\begin{eqnarray*}
(-1)^2 &=& 1^2\\
1 &=& 1
\end{eqnarray*}

กลับกลายเป็นจริงได้

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2 การแยกตัวประกอบพหุนาม