กำหนดความสัมพันธ์ของข้อมูล $x_i$ และ $y_i$ ดังนี้

$x_i$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$
$y_i$ $y_1$ $y_2$ $y_3$ $y_4$ $y_5$

โดยที่ $1 \leq x_i \leq 25$ เมื่อ $i = 1, 2, 3, 4, 5$

ถ้า $\displaystyle \sum_{i=1}^5 {x_i}^2 = 175 , \sum_{i=1}^5 x_i y_i = 1575, \sum_{i=1}^5 (x_i + y_i) = 275 , \sum_{i=1}^5 (20x_i - y_i) = 250$ และ $x_i, y_i$ มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง ดังสมการ $y = mx + c$ แล้ว จงทำนายค่า $y$ เมื่อ $x=4$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง[/STEP]

ความสัมพันธ์แบบเส้นตรงคือ $y = mx+c$

หาค่า $m$ และ $c$ จากระบบสมการต่อไปนี้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^N y &=& m \sum_{i=1}^N x + cN\\
\sum_{i=1}^N xy &=& m \sum_{i=1}^N x^2 + c \sum_{i=1}^N x
\end{eqnarray*}

ในกรณีนี้ $N = 5$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^5 y &=& m \sum_{i=1}^5 x + 5c\\
\sum_{i=1}^5 xy &=& m \sum_{i=1}^5 x^2 + c \sum_{i=1}^5 x
\end{eqnarray*}

เราทราบค่าของ $\displaystyle \sum_{i=1}^5 {x_i}^2$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i y_i$ แล้ว

แสดงว่า สิ่งที่ต้องหาเพิ่มคือ $\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i$

[STEP]หาค่า $\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i$[/STEP]

จาก $$\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i + y_i) = 275$$

จะได้ $$\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i + \sum_{i=1}^5 y_i = 275 ---- (1)$$

และจาก $$\displaystyle \sum_{i=1}^5 (20x_i - y_i) = 250$$

จะได้ $$\displaystyle 20 \sum_{i=1}^5 x_i - \sum_{i=1}^5 y_i = 250 ---- (2)$$

นำสมการ $(1) + (2)$

\begin{eqnarray*}
\left( \sum_{i=1}^5 x_i + \sum_{i=1}^5 y_i \right) + \left( 20 \sum_{i=1}^5 x_i - \sum_{i=1}^5 y_i \right) &=& 275 + 250\\
21 \sum_{i=1}^5 x_i &=& 525\\
\sum_{i=1}^5 x_i &=& 25
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
25 + \sum_{i=1}^5 y_i &=& 275\\
\sum_{i=1}^5 y_i &=& 250
\end{eqnarray*} 

[STEP]แทนค่าในระบบสมการเพื่อหา $m$ และ $c$[/STEP]

แทนค่าในระบบสมการขั้นแรก จะได้

\begin{eqnarray*}
250 &=& 25m + 5c\\
1575 &=& 175m + 25c
\end{eqnarray*}

ตัดสัมประสิทธิ์

\begin{eqnarray*}
50 &=& 5m + c &----& (3)\\
63 &=& 7m + c &----& (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(4) - (3)$

\begin{eqnarray*}
63 - 50 &=& (7m+c) - (5m+c)\\
13 &=& 2m\\
\frac{13}{2} &=& m
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(3)$

\begin{eqnarray*}
50 &=& 5 \left( \frac{13}{2} \right) + c\\
50 - \frac{65}{2} &=& c\\
\frac{35}{2} &=& c
\end{eqnarray*}

จะได้สมการความสัมพันธ์คือ $$\displaystyle y = \frac{13}{2} x + \frac{35}{2}$$

[STEP]ทำนายค่า $y$ เมื่อ $x=4$[/STEP]

เมื่อ $x = 4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
y &=& \frac{13}{2} (4) + \frac{35}{2}\\
&=& \frac{52}{2} + \frac{35}{2}\\
&=& \frac{87}{2}\\
&=& 43.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$43.5$[/ANS]

สิ่งที่ต้องระวังสำหรับความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันคือต้องอ่านโจทย์ให้ดีว่าใช้ค่าไหน ทำนายค่าไหน เช่นในกรณีนี้ใช้ค่า $x$ ทำนายค่า $y$ แสดงว่า $x$ เป็นตัวแปรต้น และ $y$ เป็นตัวแปรตาม ซึ่งเป็นรูปแบบที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

แต่หากโจทย์ใช้ $y$ ทำนายค่า $x$ ต้องสลับตัวแปรให้ดี อย่าสับสนครับ ลองดูตัวอย่างเช่น PAT1 มี.ค. 59 ข้อ 27

ความรู้ที่ใช้ : ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ซัมเมชั่น