จงหาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + 2^{2-x} - 5}{2^{-\frac{x}{2}} - 2^{1-x}}$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาว่าลิมิตอยู่ในรูป indeterminate form หรือไม่[/STEP]

ลองแทนค่า $x = 2$ ในลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + 2^{2-x} - 5}{2^{-\frac{x}{2}} - 2^{1-x}} &=& \frac{2^2 + 2^{2-2} - 5}{2^{-\frac{2}{2}} - 2^{1-2}}\\
&=& \frac{4 + 1 - 5}{2^{-1} - 2^{-1}}\\
&=& \frac00
\end{eqnarray*}

อยู่ในรูป indeterminate form จริงๆ เราสามารถจัดรูปเพื่อหาลิมิตได้

[STEP]จัดรูปเพื่อแทนสัญลักษณ์ให้กับ $2^x$[/STEP]

จัดรูปด้วยสมบัติเลขยกกำลัง

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + 2^{2-x} - 5}{2^{-\frac{x}{2}} - 2^{1-x}} &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + \frac{2^{2}}{2^x} - 5}{\frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{2^x}}\\
 &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + \frac{4}{2^x} - 5}{\frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{2^x}}
\end{eqnarray*}

คูณด้วย $\dfrac{2^x}{2^x}$ เพื่อให้ไม่มีเศษส่วนซ้อน

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + 2^{2-x} - 5}{2^{-\frac{x}{2}} - 2^{1-x}} &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2^x + \frac{4}{2^x} - 5}{\frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{2^x}} \cdot \frac{2^x}{2^x}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(2^x)^2 + 4 - 5 \cdot 2^x}{(2^x)^{\frac12} - 2}
\end{eqnarray*}

กำหนด $A = 2^x$

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(2^x)^2 + 4 - 5 \cdot 2^x}{(2^x)^{\frac12} - 2} &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{A^2 + 4 - 5 A}{A^{\frac12} - 2}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{A^2 - 5 A +4}{\sqrt{A} - 2}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปเพื่อตัดตัวล่าง[/STEP]

เราแยกตัวประกอบด้านบน

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{A^2 - 5 A +4}{\sqrt{A} - 2} &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(A-4)(A-1)}{\sqrt{A} - 2}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{A} - 2)(\sqrt{A} + 2)(A-1)}{\sqrt{A} - 2}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\cancel{(\sqrt{A} - 2)}(\sqrt{A} + 2)(A-1)}{\cancel{\sqrt{A} - 2}}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} [(\sqrt{A} + 2)(A-1)]
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $2^x$ กลับ แล้วหาลิมิต[/STEP]

แทน $A = 2^x$ กลับไป

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} [(\sqrt{A} + 2)(A-1)] &=& \lim_{x \rightarrow 2} [(\sqrt{2^x} + 2)(2^x-1)]\\
&=& (\sqrt{2^2} + 2)(2^2 - 1)\\
&=& (4)(3)\\
&=& 12
\end{eqnarray*}

[ANS]$12$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต