จงหาค่าของ $\displaystyle 13 \sin \left( 2 \arctan \frac23 \right) + 4 \tan^2 \left( \arccos \frac23 \right)$

เฉลยละเอียด

[STEP]เปลี่ยน $\arctan \dfrac23$ เป็น $\arcsin$ กับ $\arccos$ และเปลี่ยน $\arccos \dfrac23$ เป็น $\arctan$[/STEP]

สังเกตว่า $\arctan \dfrac23$ อยู่กับ $\sin$ สองเท่า ซึ่งมีสูตรคือ $$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$

เราจึงต้องเปลี่ยนเป็น $\arcsin$ กับ $\arccos$ เพื่อให้สามารถตัดกันได้

จาก $\arctan \dfrac23$ เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 37 รูป 1

จะได้ว่า $$\displaystyle \arctan \frac23 = \arcsin \frac{2}{\sqrt{13}} = \arccos \frac{3}{\sqrt{13}}$$

ในทำนองเดียวกัน $\arccos \dfrac23$ อยู่กับ $\tan$ เราก็ต้องเปลี่ยนเป็น $\arctan$ เพื่อให้สามารถตัดกันได้

จาก $\arccos \dfrac23$ เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

จะได้ว่า $$\displaystyle \arccos \frac23 = \arctan \frac{\sqrt{5}}{2}$$

[STEP]หาค่า $\sin \left( 2 \arctan \dfrac23 \right)$[/STEP]

ใช้สูตร $\sin$ สองเท่า จะได้

\begin{eqnarray*}
\sin \left( 2 \arctan \frac23 \right) &=& 2 \sin \left( \arctan \frac23 \right) \cos \left( \arctan \frac23 \right)\\
&=& 2 \sin \left( \arcsin \frac{2}{\sqrt{13}} \right) \cos \left( \arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)\\
&=& 2 \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)\\
&=& \frac{12}{13}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $\displaystyle \tan \left( \arccos \frac23 \right)$[/STEP]

เปลี่ยน $\arccos$ เป็น $\arctan$

\begin{eqnarray*}
\tan \left( \arccos \frac23 \right) &=& \tan \left(  \arctan \frac{\sqrt{5}}{2} \right)\\
&=& \frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

จะได้

\begin{eqnarray*}
13 \sin \left( 2 \arctan \frac23 \right) + 4 \tan^2 \left( \arccos \frac23 \right) &=& 13 \left( \frac{12}{13} \right) + 4 \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2\\
&=& 12 + 4 \left( \frac54 \right)\\
&=& 12 + 5\\
&=& 17
\end{eqnarray*}

[ANS]$17$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ