กำหนดให้ $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง และ $\displaystyle U_k = \sum_{n=k}^{2k} a_n$ สำหรับ $k = 1, 2, 3, ...$

ถ้า $U_5 = 147$ และ $U_8 = 342$ แล้ว จงหาค่าของ $\displaystyle \sum_{n=1}^{60} a_n$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $U_5$[/STEP]

จาก $\displaystyle U_k = \sum_{n=k}^{2k} a_n$

จะได้

\begin{eqnarray*}
U_5 &=& \sum_{n=5}^{10} a_n\\
147 &=& a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $U_8$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
U_8 &=& \sum_{n=8}^{16} a_n\\
342 &=& a_8 + a_9 + a_{10} + ... + a_{16}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดให้อยู่ในรูป $a_1$ กับ $d$[/STEP]

จาก $U_5$ และ $U_8$ เราจะจัดให้เหลือ $2$ ตัวแปร คือ $a_1$ กับ $d$ เพื่อแก้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
147 &=& a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}\\
147 &=& (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) + ... + (a_1 + 9d)\\
147 &=& 6a_1 + 39d\\
49 &=& 2a_1 + 13d
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
342 &=& a_8 + a_9 + a_{10} + ... + a_{16}\\
342 &=& (a_1 + 7d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 9d) + ... + (a_1 + 15d)\\
342 &=& 9a_1 + 99d\\
38 &=& a_1 + 11d
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการเพื่อหา $a_1$ และ $d$[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
49 &=& 2a_1 + 13d &----& (1)\\
38 &=& a_1 + 11d && \text{คูณ} \;2\; \text{ทั้งสมการเพื่อให้สัมประสิทธิ์หน้า} \;a_1\; \text{เท่ากัน}\\
76 &=& 2a_1 + 22d &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
76 - 49 &=& (2a_1 + 22d) - (2a_1 + 13d)\\
27 &=& 9d\\
3 &=& d
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
49 &=& 2a_1 + 13(3)\\
49 &=& 2a_1 + 39\\
10 &=& 2a_1\\
5 &=& a_1
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{60} a_n &=& a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{60}
\end{eqnarray*}

เป็นอนุกรมเลขคณิต เราทราบค่าของ $a_1$ กับ $d$ แล้ว จึงเลือกใช้สูตร $$\displaystyle S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{60} a_n &=& \frac{60}{2} [2(5) + (60-1)(3)]\\
&=& 30[10 + 59(3)]\\
&=& 30(187)\\
&=& 5,610
\end{eqnarray*}

[ANS]$5,610$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต