กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + a}{3^{n-1}} = \frac{21}{2}$

จงหาค่า $a$

เฉลยละเอียด

[STEP]ลองกระจาย $\sum$ เพื่อดูว่าเป็นอนุกรมแบบไหน[/STEP]

แทนค่า $n = 1, 2, 3, ...$

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + a}{3^{n-1}} &=& \frac{1+a}{3^0} + \frac{4+a}{3^1} + \frac{9+a}{3^2} + \frac{16+a}{3^3} + ...
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าด้านบนเป็นอนุกรมใดๆ ส่วนด้านล่างเป็นอนุกรมเรขาคณิต มองในรูปของอนุกรมผสม

[STEP]จัดรูปอนุกรมผสม[/STEP]

เรากำหนดให้อนุกรมแทนด้วยสัญลักษณ์ $S$ แล้วคูณด้วยอัตราส่วนร่วม ซึ่งเท่ากับ $\dfrac13$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
S &=& \frac{1+a}{3^0} + \frac{4+a}{3^1} + \frac{9+a}{3^2} + \frac{16+a}{3^3} + ... &----& (1)\\
\frac13 S &=& \frac13 \left( \frac{1+a}{3^0} + \frac{4+a}{3^1} + \frac{9+a}{3^2} + \frac{16+a}{3^3} + ... \right) &&\\
\frac13 S &=& \frac{1+a}{3^1} + \frac{4+a}{3^2} + \frac{9+a}{3^3} + \frac{16+a}{3^4} + ... &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(1) - (2)$ แล้วจับคู่พจน์ที่ตัวส่วนเท่ากัน

\begin{eqnarray*}
S - \frac13 S &=& \left( \frac{1+a}{3^0} + \frac{4+a}{3^1} + \frac{9+a}{3^2} + \frac{16+a}{3^3} + ... \right) - \left( \frac{1+a}{3^1} + \frac{4+a}{3^2} + \frac{9+a}{3^3} + \frac{16+a}{3^4} + ... \right)\\
\frac23 S &=& \frac{1+a}{3^0} + \left( \frac{4+a}{3^1} - \frac{1+a}{3^1} \right) + \left( \frac{9+a}{3^2} - \frac{4+a}{3^2} \right) + \left( \frac{16+a}{3^3} - \frac{9+a}{3^3} \right) + ...\\
\frac23 S &=& \frac{1+a}{3^0} + \frac{4+a - 1 - a}{3^1} + \frac{ 9 + a - 4 - a}{3^2} + \frac{16 + a - 9 - a}{3^3} + ...\\
\frac23 S &=& \frac{1+a}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ...
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยแยกพจน์ที่ติด $a$ ออก

\begin{eqnarray*}
\frac23 S &=& \frac{1}{3^0} + \frac{a}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ...\\
\frac23 S &=& \frac{a}{3^0} + \left( \frac{1}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ... \right)\\
\frac23 S &=& a + \left( \frac{1}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ... \right)
\end{eqnarray*}

ถ้าเราพิจารณาอนุกรมในวงเล็บ จะเห็นว่าด้านบนเป็นอนุกรมเลขคณิต และด้านล่างเป็นอนุกรมเรขาคณิต

[STEP]หาผลรวมของอนุกรมในวงเล็บ[/STEP]

กำหนดให้อนุกรมในวงเล็บ แทนด้วยสัญลักษณ์ $A$ จะได้

$$\displaystyle \frac23 S = a + A$$

แยกคิดหาค่าเฉพาะ $A$ เราใช้วิธีเดิมในการหาผลรวมอนุกรมผสม คูณด้วยอัตราส่วนร่วม

\begin{eqnarray*}
A &=& \frac{1}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ... & ---- & (3)\\
\frac13 A &=& \frac13 \left(  \frac{1}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ... \right) &&\\
\frac13 A &=& \frac{1}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{5}{3^3} + \frac{7}{3^4} + ... & ---- & (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(3) - (4)$

\begin{eqnarray*}
A - \frac13 A &=& \left( \frac{1}{3^0} + \frac{3}{3^1} + \frac{5}{3^2} + \frac{7}{3^3} + ... \right) - \left( \frac{1}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{5}{3^3} + \frac{7}{3^4} + ... \right)\\
\frac23 A &=& \frac{1}{3^0} + \left( \frac{3}{3^1} - \frac{1}{3^1} \right) + \left( \frac{5}{3^2} - \frac{3}{3^2} \right) + \left( \frac{7}{3^3} - \frac{5}{3^3} \right) + ...\\
\frac23A &=& \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + ...\\
\frac23A &=& \frac{1}{3^0} + 2 \left( \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... \right)
\end{eqnarray*}

เราจะเห็นว่า ในวงเล็บเป็นอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้า เพราะมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $\dfrac13$

[STEP]หาผลรวมอนุกรมอนันต์[/STEP]

อนุกรม $\displaystyle \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ...$ เป็นอนุกรมอนันต์ที่มี $a_1 = \dfrac13$ และ $r = \dfrac13$

เราใช้สูตร $\displaystyle S_{\infty} = \frac{a_1}{1-r}$

\begin{eqnarray*}
\frac23A &=& \frac{1}{3^0} + 2 \left( \frac{\frac13}{1 - \frac13} \right)\\
\frac23A &=& 1 + 2 \left( \frac{\frac13}{\frac23} \right)\\
\frac23A &=& 1 + 2 \left( \frac13 \times \frac32 \right)\\
\frac23 A &=& 1 + 2 \left( \frac12 \right)
\end{eqnarray*}

คูณด้วย $\dfrac32$ ทั้งสมการเพื่อหาค่า $A$

\begin{eqnarray*}
\frac23 A &=& 1 + 1\\
\frac23 A &=& 2\\
A &=& 2 \cdot \frac32\\
A &=& 3
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่ากลับเพื่อหา $S$[/STEP]

จาก $$\displaystyle \frac23 S = a + A$$

เราได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\frac23 S = a + A\\
\frac23 S = a + 3\\
S &=& \frac32 (a+3)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + a}{3^{n-1}} = \frac32 (a+3)$$

[STEP]แก้สมการหาค่า $a$[/STEP]

จาก $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + a}{3^{n-1}} = \frac{21}{2}$$

\begin{eqnarray*}
\frac32 (a+3) &=& \frac{21}{2}\\
\frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} (a+3) &=& \frac{\cancelto{7}{21}}{\cancel{2}}\\
a+3 &=& 7\\
a &=& 4
\end{eqnarray*}

[ANS]$4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ผลบวกอนันต์ของอนุกรม เทคนิคการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ในรูป เลขคณิต/เรขาคณิต