ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $\displaystyle 2 \log_{\frac14} (4x+24) + \log_2 (8-4x-x^2) = 0$

ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มในเซต $A$ ที่มีค่ามากที่สุด แล้ว ค่าของ $(a+1)^2$ เท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการ $\log$ ให้เป็นฐานเดียวกัน[/STEP]

จาก $$\displaystyle \log_{\frac14} (4x+24) = \log_{2^{-2}} (4x+24) = \frac{1}{-2} \log_2 (4x+24)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
2 \left( \frac{1}{-2} \log_2 (4x+24) \right) + \log_2 (8-4x-x^2) &=& 0\\
\cancelto{-1}{2} \left( \frac{1}{\cancel{-2}} \log_2 (4x+24) \right) + \log_2 (8-4x-x^2) &=& 0\\
\log_2 (8-4x-x^2) - \log_2 (4x+24) &=& 0
\end{eqnarray*}

ใช้สมบัติ $\log$ ลบกัน เอาพจน์ใน $\log$ มาหารกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_2 \frac{8-4x-x^2}{4x+24} &=& 0
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้สมการ[/STEP]

เราทราบว่า $\log 1$ ฐานอะไรก็ตาม มีค่าเป็น $0$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{8-4x-x^2}{4x+24} &=& 1\\
8 - 4x - x^2 &=& 4x + 24\\
0 &=& x^2 + 8x + 16\\
0 &=& (x+4)^2
\end{eqnarray*}

เราได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x+4 &=& 0\\
x &=& -4
\end{eqnarray*}

เป็นคำตอบเดียวของสมการนี้

[STEP]หาค่า $(a+1)^2$[/STEP]

เซตคำตอบคือ $A = \{ -4 \}$

มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ดังนั้น $a = -4$

จะได้ $$(a+1)^2 = (-4+1)^2 = (-3)^2 = 9$$

[ANS]$9$[/ANS]

สิ่งที่ต้องตรวจสอบในการแก้สมการหรืออสมการ $\log$ คือพจน์ที่อยู่ใน $\log$ จะต้องมากกว่า $0$

นั่นคือเราต้องลองเอา $x = -4$ ซึ่งเป็นคำตอบ ไปตรวจสอบว่าเมื่อแทนค่าใน $4x+24$ และ $8-4x-x^2$ แล้ว จะต้องมากกว่า $0$ ด้วย

แต่ข้อนี้มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว เราอาจลักไก่ไม่ตรวจสอบก็ได้

ความรู้ที่ใช้ : ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป การแก้สมการลอการิทึม การแก้สมการพหุนามกำลังสอง