กำหนดให้ $P(S)$ แทนพาวเวอร์เซตของเซต $S$ ให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเซตใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$
ข. $P(A) - P(B) \subset P(A - B)$
ค. $P\Big(P(\emptyset)\Big) \subset P\Big(P\big(P(\emptyset)\big)\Big)$ เมื่อ $\emptyset$ แทนเซตว่าง

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

 

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อ ก.[/STEP]

ใช้วิธีวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จะได้ว่า

$A \cap B$ คือพื้นที่สีน้ำตาล ส่วน $C$ คือพื้นที่สีเขียว นำมายูเนี่ยนกันเป็น $(A \cap B) \cup C$ เอาพื้นที่ทั้ง $2$ ส่วน ดังรูป

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 3 รูป 1

แต่เมื่อนำ $A$ มาอินเตอร์เซกกับ $B \cup C$ แล้ว จะได้เพียงพื้นที่สีน้ำตาลดังรูป

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 3 รูป 2

ดังนั้น ข้อ ก. ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ข.[/STEP]

ใช้วิธียกตัวอย่างค้าน สมมติให้ $A = \{0, 1\}$ และ $B = \{1\}$

จะได้ $A - B = \{0\}$ แสดงว่า $$P(A - B) = P\Big(\{0\}\Big) = \Big\{ \emptyset, \{0\} \Big\}$$

ส่วน $P(A) = \Big\{ \emptyset, \{0\} , \{1\}, \{0, 1\} \Big\}$ และ $P(B) = \Big\{ \emptyset , \{1\} \Big\}$ แสดงว่า $$P(A) - P(B) = \Big\{ \{0\}, \{0, 1\} \Big\}$$

ซึ่ง $$\Big\{ \{0\}, \{0, 1\} \Big\} \not\subset \Big\{ \emptyset, \{0\} \Big\}$$

ดังนั้น ข้อ ข. ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ค.[/STEP]

เรามีสมบัติว่า ถ้า $P(A) \subset P(B)$ แล้ว $A \subset B$

นั่นคือเราสามารถตัด $P$ ทั้งสองข้างออกได้

\begin{eqnarray*}
P\Big(P(\emptyset)\Big)       &\subset&    P\Bigg(P\Big(P(\emptyset)\Big)\Bigg)\\
\cancel{P}\Big(P(\emptyset)\Big)   &\subset&    \cancel{P}\Bigg(P\Big(P(\emptyset)\Big)\Bigg)\\
\cancel{P}(\emptyset)        &\subset&    \cancel{P}\Big(P(\emptyset)\Big)\\
\emptyset                           &\subset&    P(\emptyset)
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $\emptyset$ เป็นสับเซตของทุกเซต

ดังนั้น ข้อ ค. ถูกต้อง

[ANS]ข้อ ค. ถูกเพียงข้อเดียว[/ANS]

สำหรับพาวเวอร์เซตของการดำเนินการระหว่าง $2$ เซต จะสามารถแยกได้เพียงแค่ $P(A \cap B) = P(A) \cap P(B)$

ความรู้ที่ใช้ : สับเซตและเพาเวอร์เซต แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์