ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $\displaystyle \int_{-1}^1 a(1-x^2) dx = \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ แล้ว ค่าของ $a$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$[/STEP]

สังเกตฟังก์ชันที่เราต้องการอินทิเกรต คือ $$y= \sqrt{1-x^2}$$

เราไม่สามารถอินทิเกรตตรงๆ ได้ แต่ถ้าลองจัดรูปฟังก์ชันโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
y &=& \sqrt{1-x^2}\\
y^2 &=& 1-x^2\\
x^2 + y^2 &=& 1
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเป็นกราฟของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(0, 0)$ รัศมียาว $1$ หน่วย

แต่เนื่องจาก $y$ เกิดจากการถอดสแควรูท แสดงว่า $y \geq 0$ กราฟของเป็นครึ่งวงกลมเหนือแกน $X$ ดังนี้

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 26 กราฟครึ่งวงกลม

ซึ่งการอินทิเกรตจาก $-1$ ถึง $1$ คือการหาพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน $X$ จาก $x=-1$ ถึง $x=1$

แสดงว่ามีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปวงกลมนั่นเอง

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx &=& \frac{\pi r^2}{2}\\
&=& \frac{\pi (1^2)}{2}\\
&=& \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]อินทิเกรต $\displaystyle \int_{-1}^1 a(1-x^2) dx$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^1 a(1-x^2) dx &=& \int_{-1}^1 (a-ax^2) dx\\
&=& \left[ ax - \frac{ax^3}{3} \right]_{-1}^1\\
&=& \left( a - \frac{a}{3} \right) - \left( -a + \frac{a}{3} \right)\\
&=& 2a - \frac{2a}{3}
\end{eqnarray*}

จะได้

$$\displaystyle \int_{-1}^1 a(1-x^2) dx = \frac{4a}{3}$$

[STEP]หาค่า $a$[/STEP]

จากสมการ

$$\displaystyle \int_{-1}^1 a(1-x^2) dx = \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{4a}{3} &=& \frac{\pi}{2}\\
a &=& \frac{\pi}{2} \times \frac34\\
&=& \frac{3\pi}{8}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{3\pi}{8}$[/ANS]

ข้อนี้โดยวิธีการอาจดูไม่ยาก แต่น้องๆ หลายคนอาจนึกไม่ถึงว่าเราต้องอินทิเกรตโดยการหาพื้นที่ครึ่งวงกลม ซึ่งโจทย์ประเภทเคยออกในข้อสอบ $PAT1$ ยุคเก่า แล้วหายไปนาน เพิ่งกลับมาอีกครั้ง ควรศึกษาไว้ให้ดีนะครับเพราะมีโอกาสออกได้อีก

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต อินทิเกรตหาพื้นที่ใต้กราฟและพื้นที่ระหว่างกราฟ สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต