กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n , ...$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_1 = 1$ และ $a_n = 2 a_{n-1} + 3$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, ...$

แล้ว ค่าของ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}}$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปลำดับในลิมิต[/STEP]

จาก $a_n = 2 a_{n-1} + 3$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a_{n+1} &=& 2 a_n + 3 \;\;\;\; \text{และ}\\
a_{n+2} &=& 2 a_{n+1} + 3
\end{eqnarray*}

แทนค่าในลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{(2a_{n+1} + 3) - (2a_n + 3)}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2a_{n+1} + \cancel{3} - 2a_n - \cancel{3}}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2a_{n+1} - 2a_n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(a_{n+1} - a_n)}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a_{n+1} = 2 a_n + 3$

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(2a_n + 3 - a_n)}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(a_n + 3)}
\end{eqnarray*}

นำ $a_n$ หารทุกๆ พจน์ ในลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{a_n}{a_n}}{2 \left(\frac{a_n}{a_n} + \frac{3}{a_n} \right)}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)}
\end{eqnarray*}

[STEP]กระจายลิมิตเข้าไป[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \frac{\lim_{n \rightarrow \infty}1}{\lim_{n \rightarrow \infty}2 \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)}\\
&=& \frac{1}{2 \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)}\\
&=& \frac{1}{2 \left(\lim_{n \rightarrow \infty}1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)}\\
&=& \frac{1}{2 \left(1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n}$[/STEP]

จาก $a_1 = 1$ และ $a_n = 2 a_{n-1} + 3$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, ...$ ลองแทนค่า $n$ เรื่อยๆ

\begin{eqnarray*}
a_2 &=& 2a_1 + 3 = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5\\
a_3 &=& 2a_2 + 3 = 2(5) + 3 = 10+3 = 13\\
a_4 &=& 2a_3 + 3 = 2(13) + 3 = 26 + 3 = 39\\
&\vdots&
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ $a_n$ ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ไม่มีที่สิ้นสุด

เราจึงสรุปได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n &=& \infty\\
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} &=& 0\\
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} &=& 0
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่าหาคำตอบ[/STEP]

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \frac{1}{2 \left(1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)}\\
&=& \frac{1}{2 \left(1 + 0 \right)}\\
&=& \frac12\\
&=& 0.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$0.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตของลำดับ ลำดับเวียนเกิด ลิมิตที่อนันต์