,

จาก $a_n = 2 a_{n-1} + 3$ จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=& 2 a_n + 3 \;\;\;\; \text{และ}\\ a_{n+2} &=& 2 a_{n+1} + 3 \end{eqnarray*}$$

แทนค่าในลิมิต

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{(2a_{n+1} + 3) - (2a_n + 3)}\\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2a_{n+1} + \cancel{3} - 2a_n - \cancel{3}}\\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2a_{n+1} - 2a_n}\\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(a_{n+1} - a_n)} \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $a_{n+1} = 2 a_n + 3$

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(2a_n + 3 - a_n)}\\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2(a_n + 3)} \end{eqnarray*}$$

นำ $a_n$ หารทุกๆ พจน์ ในลิมิต

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{a_n}{a_n}}{2 \left(\frac{a_n}{a_n} + \frac{3}{a_n} \right)}\\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)} \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \frac{\lim_{n \rightarrow \infty}1}{\lim_{n \rightarrow \infty}2 \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)}\\ &=& \frac{1}{2 \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{3}{a_n} \right)}\\ &=& \frac{1}{2 \left(\lim_{n \rightarrow \infty}1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)}\\ &=& \frac{1}{2 \left(1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)} \end{eqnarray*}$$

,

จาก $a_1 = 1$ และ $a_n = 2 a_{n-1} + 3$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, ...$ ลองแทนค่า $n$ เรื่อยๆ

$$\begin{eqnarray*} a_2 &=& 2a_1 + 3 = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5\\ a_3 &=& 2a_2 + 3 = 2(5) + 3 = 10+3 = 13\\ a_4 &=& 2a_3 + 3 = 2(13) + 3 = 26 + 3 = 39\\ &\vdots& \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ $a_n$ ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ไม่มีที่สิ้นสุด

เราจึงสรุปได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n &=& \infty\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} &=& 0\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} &=& 0 \end{eqnarray*}$$

,

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+2} - a_{n+1}} &=& \frac{1}{2 \left(1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{a_n} \right)}\\ &=& \frac{1}{2 \left(1 + 0 \right)}\\ &=& \frac12\\ &=& 0.5 \end{eqnarray*}$$