,

จาก

$$\begin{eqnarray*} 2 \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} &=& 32\\ 2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) &=& 32\\ 2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) -  \vec{a} \cdot \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) &=& 32 \end{eqnarray*}$$

เราใช้สมบัติ $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 2 |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 &=& 32 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$ และ $|\vec{a}| = 6$

$$\begin{eqnarray*} 2 (6^2) - 15 - |\vec{b}|^2 &=& 32\\ 72 - 15 - |\vec{b}|^2 &=& 32\\ 25 &=& |\vec{b}|^2 \end{eqnarray*}$$

,

จาก $$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} |\vec{a} - 2\vec{b}|^2 &=& |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot 2\vec{b} + |2\vec{b}|^2\\ &=& 6^2 - 2(2) \vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2 |\vec{b}|^2\\ &=& 36 - 4 (15) + 4(25)\\ &=& 36 - 60 + 100 \end{eqnarray*}$$

ถอดรากที่สองเพื่อหา $|\vec{a} - 2\vec{b}|$

$$\begin{eqnarray*} |\vec{a} - 2\vec{b}|^2 &=& 76\\ |\vec{a} - 2\vec{b}| &=& \sqrt{76} \end{eqnarray*}$$