กำหนด $\vec{a}$ และ $\vec{b}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15 , |\vec{a}| = 6$ และ $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 32$

แล้ว ค่าของ $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการเวกเตอร์[/STEP]

จาก $$(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 32$$ เรากระจายวงเล็บทางซ้ายมือ

\begin{eqnarray*}
2 \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} &=& 32\\
2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) &=& 32\\
2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) -  \vec{a} \cdot \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) &=& 32
\end{eqnarray*}

เราใช้สมบัติ $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2 |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 &=& 32
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$ และ $|\vec{a}| = 6$

\begin{eqnarray*}
2 (6^2) - 15 - |\vec{b}|^2 &=& 32\\
72 - 15 - |\vec{b}|^2 &=& 32\\
25 &=& |\vec{b}|^2
\end{eqnarray*}

[STEP]ใช้สูตร $|\vec{u} - \vec{v}|^2$[/STEP]

จาก $$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 &=& |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot 2\vec{b} + |2\vec{b}|^2\\
&=& 6^2 - 2(2) \vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2 |\vec{b}|^2\\
&=& 36 - 4 (15) + 4(25)\\
&=& 36 - 60 + 100
\end{eqnarray*}

ถอดรากที่สองเพื่อหา $|\vec{a} - 2\vec{b}|$

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 &=& 76\\
|\vec{a} - 2\vec{b}| &=& \sqrt{76}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\sqrt{76}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การดอทเวกเตอร์ สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท