,

จากข้อมูลประชากร เราใช้สัญลักษณ์ $\sigma$ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ $\mu$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต

จะได้ว่า $$\displaystyle C.V. = \frac{\sigma}{\mu}$$

โจทย์กำหนด ความแปรปรวนเท่ากับ $25$ ดังนั้น $\sigma = 5$

$$\begin{eqnarray*} C.V. &=& \frac{\sigma}{\mu}\\ \frac{62.5}{100} &=& \frac{5}{\mu}\\ \frac{\cancelto{12.5}{62.5}}{100} &=& \frac{\cancel{5}}{\mu}\\ \mu &=& \frac{100}{12.5} \end{eqnarray*}$$

เราได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\mu = 8$

,

จากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $25$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \sigma^2 &=& \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N} - \mu^2\\ 25 &=& \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_{10}^2}{10} - 8^2\\ 25 &=& \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_{10}^2}{10} - 64\\ 89 &=& \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_{10}^2}{10} \end{eqnarray*}$$

จะสังเกตเห็นว่า $\displaystyle \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_{10}^2}{10}$ คือการเอาข้อมูล $x_i^2$ มารวมกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลคือ $10$ ตัว

แสดงว่าคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล $x_1^2 , x_2^2 , x_3^2 , ... , x_{10}^2$ นั่นเอง

ข้อ ก. ถูกต้อง

,

ข้อมูล $x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_{10}$ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น $5$

โดยสมบัติของ $\sigma$ ถ้าเรานำค่าคงตัว $k$ ไปคูณกับข้อมูลทุกตัว จะได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่คือ $|k| \sigma_{\text{เดิม}}$

ข้อมูล $-x_1 , -x_2 , -x_3 , ... , -x_{10}$ เกิดจากการคูณด้วย $-1$ เข้าไปที่ข้อมูลทุกๆ ตัว

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่เท่ากับ $$|-1| \sigma_{\text{เดิม}} = (1)(5) = 5$$

ข้อ ข. ถูกต้อง

,

โดยสมบัติค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\displaystyle \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2$ จะมีค่าน้อยที่สุด

ซึ่งเราทราบว่า $\mu = 8$

ดังนั้น $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (x_i - 8)^2$ จะมีค่าน้อยที่สุด ไม่ใช่ $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (x_i - 5)^2$

ข้อ ค. ไม่ถูกต้อง