กำหนดเส้นตรง $3x - 4y - 6 = 0$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $x + ay + 3 = 0$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง ถ้าเส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด $A$ และตัดแกน $X$ ที่จุด $B$ และจุด $C$ ตามลำดับ แล้ว พื้นที่รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาเส้นตรงตั้งฉากกัน[/STEP]

จากเส้นตรง $3x - 4y - 6 = 0$ มีความชัน $\dfrac{3}{4}$

และเส้นตรง $x + ay + 3 = 0$ มีความชัน $ - \dfrac{1}{a}$

ตั้งฉากกัน ความชันต้องคูณกันได้ $-1$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left( \frac34 \right) \left( -\frac{1}{a} \right) &=& -1\\
-\frac{3}{4a} &=& -1\\
\frac34 &=& a
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจุด $A$[/STEP]

จากสมการเส้นตรงทั้งสองคือ

\begin{eqnarray*}
3x - 4y - 6 &=& 0 &&\\
3x - 4y &=& 6 & ---- & (1)
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
x + \frac34 y + 3 &=& 0 &&\\
4x + 3y + 12 &=& 0 &&\\
4x + 3y &=& -12 &----&(2)
\end{eqnarray*}

หาจุดตัด แก้ระบบสมการ จัดรูปให้สัมประสิทธิ์หน้า $x$ เท่ากัน

นำสมการ $(1) \times 4$ และสมการ $(2) \times 3$

\begin{eqnarray*}
12x - 16y &=& 24 & ---- & (3)\\
12x + 9y &=& -36 & ---- & (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(4) - (3)$

\begin{eqnarray*}
(12x + 9y) - (12x - 16y) &=& -36 - 24\\
25y &=& -60\\
y &=& -\frac{60}{25}\\
y &=& -\frac{12}{5}
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
3x - 4 \left( -\frac{12}{5} \right) &=& 6\\
3x + \frac{48}{5} &=& 6
\end{eqnarray*}

นำ $3$ หารตลอดทั้งสมการ

\begin{eqnarray*}
x + \frac{16}{5} &=& 2\\
x &=& 2 - \frac{16}{5}\\
x &=&  -\frac65
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จุดตัดคือ $\displaystyle A \left( -\frac65 , -\frac{12}{5} \right)$

[STEP]หาจุด $B$[/STEP]

เส้นตรง $3x - 4y - 6 = 0$ ตัดแกน $X$ ที่จุด $B$

แทนค่า $y = 0$

\begin{eqnarray*}
3x - 0 - 6 &=& 0\\
3x &=& 6\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เส้นตรงตัดแกน $X$ ที่ $B(2, 0)$

[STEP]หาจุด $C$[/STEP]

เส้นตรง $x + \dfrac34 y + 3 = 0$ ตัดแกน $X$ ที่จุด $C$

แทนค่า $y = 0$

\begin{eqnarray*}
x + 0 + 3 &=& 0\\
x &=& -3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เส้นตรงตัดแกน $X$ ที่ $C(-3, 0)$

[STEP]หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

จากจุด $\displaystyle A \left( -\frac65 , -\frac{12}{5} \right) , B(2, 0)$ และ $C(-3, 0)$ ได้รูปสามเหลี่ยม

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 22 รูปสามเหลี่ยม ABC

ความยาวฐานเป็น $5$ ความสูงเป็น $\dfrac{12}{5}$

พื้นที่คือ

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่} &=& \frac12 \times 5 \times \frac{12}{5}\\
&=& \frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{5} \times \frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}\\
&=& 6
\end{eqnarray*}

[ANS]$6$ ตารางหน่วย[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความชันของเส้นโค้ง