,

จากเส้นตรง $3x - 4y - 6 = 0$ มีความชัน $\dfrac{3}{4}$

และเส้นตรง $x + ay + 3 = 0$ มีความชัน $- \dfrac{1}{a}$

ตั้งฉากกัน ความชันต้องคูณกันได้ $-1$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \left( \frac34 \right) \left( -\frac{1}{a} \right) &=& -1\\ -\frac{3}{4a} &=& -1\\ \frac34 &=& a \end{eqnarray*}$$

,

จากสมการเส้นตรงทั้งสองคือ

$$\begin{eqnarray*} 3x - 4y - 6 &=& 0 &&\\ 3x - 4y &=& 6 & ---- & (1) \end{eqnarray*}$$

และ

$$\begin{eqnarray*} x + \frac34 y + 3 &=& 0 &&\\ 4x + 3y + 12 &=& 0 &&\\ 4x + 3y &=& -12 &----&(2) \end{eqnarray*}$$

หาจุดตัด แก้ระบบสมการ จัดรูปให้สัมประสิทธิ์หน้า $x$ เท่ากัน

นำสมการ $(1) \times 4$ และสมการ $(2) \times 3$

$$\begin{eqnarray*} 12x - 16y &=& 24 & ---- & (3)\\ 12x + 9y &=& -36 & ---- & (4) \end{eqnarray*}$$

นำสมการ $(4) - (3)$

$$\begin{eqnarray*} (12x + 9y) - (12x - 16y) &=& -36 - 24\\ 25y &=& -60\\ y &=& -\frac{60}{25}\\ y &=& -\frac{12}{5} \end{eqnarray*}$$

แทนในสมการ $(1)$

$$\begin{eqnarray*} 3x - 4 \left( -\frac{12}{5} \right) &=& 6\\ 3x + \frac{48}{5} &=& 6 \end{eqnarray*}$$

นำ $3$ หารตลอดทั้งสมการ

$$\begin{eqnarray*} x + \frac{16}{5} &=& 2\\ x &=& 2 - \frac{16}{5}\\ x &=&  -\frac65 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น จุดตัดคือ $\displaystyle A \left( -\frac65 , -\frac{12}{5} \right)$

,

เส้นตรง $3x - 4y - 6 = 0$ ตัดแกน $X$ ที่จุด $B$

แทนค่า $y = 0$

$$\begin{eqnarray*} 3x - 0 - 6 &=& 0\\ 3x &=& 6\\ x &=& 2 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น เส้นตรงตัดแกน $X$ ที่ $B(2, 0)$

,

เส้นตรง $x + \dfrac34 y + 3 = 0$ ตัดแกน $X$ ที่จุด $C$

แทนค่า $y = 0$

$$\begin{eqnarray*} x + 0 + 3 &=& 0\\ x &=& -3 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น เส้นตรงตัดแกน $X$ ที่ $C(-3, 0)$

,

จากจุด $\displaystyle A \left( -\frac65 , -\frac{12}{5} \right) , B(2, 0)$ และ $C(-3, 0)$ ได้รูปสามเหลี่ยม

ความยาวฐานเป็น $5$ ความสูงเป็น $\dfrac{12}{5}$

พื้นที่คือ

$$\begin{eqnarray*} \text{พื้นที่} &=& \frac12 \times 5 \times \frac{12}{5}\\ &=& \frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{5} \times \frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}\\ &=& 6 \end{eqnarray*}$$