กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ $\{ 1, 2, 3, 4 \}$

ให้

$P(x)$ คือ $|x-2| + |x-3| = 1$
$Q(x)$ คือ $x(x+1) > 1$
และ $R(x)$ คือ $\sqrt{x-1} < x-3$

ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง[/STEP]

จากเอกภพสัมพัทธ์ที่มีสมาชิกเพียง $4$ ตัว คือ $\{ 1, 2, 3, 4 \}$

เราใช้วิธีการแทนค่าเพื่อตรวจสอบว่าค่า $x$ ใดบ้างที่ทำให้ $P(x)$ จริง เพราะจะเร็วกว่าการแก้สมการตรงๆ มาก

แทนค่า $x = 1$

\begin{eqnarray*}
|1 - 2| + |1 - 3| &=& 1 \\
|-1| + |-2| &=& 1\\
1 + 2 &=& 1\\
3 &=& 1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

แทนค่า $x = 2$

\begin{eqnarray*}
|2 - 2| + |2 - 3| &=& 1 \\
|0| + |-1| &=& 1\\
0 + 1 &=& 1\\
1 &=& 1
\end{eqnarray*}

จริง

แทนค่า $x = 3$

\begin{eqnarray*}
|3 - 2| + |3 - 3| &=& 1 \\
|1| + |0| &=& 1\\
1 + 0 &=& 1\\
1 &=& 1
\end{eqnarray*}

จริง

แทนค่า $x = 4$

\begin{eqnarray*}
|4 - 2| + |4 - 3| &=& 1 \\
|2| + |1| &=& 1\\
2 + 1 &=& 1\\
3 &=& 1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

ดังนั้น ค่า $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง คือ $3$ และ $4$

แสดงว่า $\forall x \Big[P(x)\Big]$ เป็น $F$ และ $\exists x \Big[P(x)\Big]$ เป็น $T$

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่ทำให้ $Q(x)$ เป็นจริง[/STEP]

สังเกตว่า $Q(x)$ คือ $$x(x+1) > 1$$

ซึ่งฝั่งซ้ายมือ $x$ คูณกับ $x+1$ หมายถึงเอาค่า $x$ กับจำนวนเต็มถัดไปจาก $x$ มาคูณกัน

ซึ่งค่า $x$ ที่มีในเอกภพสัมพัทธ์คือ $1, 2, 3, 4$ ไม่ว่าอย่างไรนำมาแทนค่าในอสมการแล้วมากกว่า $1$ แน่นอน

ดังนั้น ทุกๆ ค่า $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $Q(x)$ เป็นจริง

แสดงว่า $\forall x \Big[Q(x)\Big]$ เป็น $T$ และ $\exists x \Big[Q(x)\Big]$ เป็น $T$

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่ทำให้ $R(x)$ เป็นจริง[/STEP]

ตรวจสอบโดยใช้วิธีการแทนค่า

แทนค่า $x = 1$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{1-1} &<& 1-3\\
\sqrt{0} &<& -2\\
0 &<& -2
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

แทนค่า $x = 2$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2-1} &<& 2-3\\
\sqrt{1} &<& -1\\
1 &<& -1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

แทนค่า $x = 3$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{3-1} &<& 3-3\\
\sqrt{2} &<& 0
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

แทนค่า $x = 4$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{4-1} &<& 4-3\\
\sqrt{3} &<& 1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง

ดังนั้น ไม่มีค่า $x$ ใดเลย ที่ทำให้ $R(x)$ เป็นจริง

แสดงว่า $\forall x \Big[R(x)\Big]$ เป็น $F$ และ $\exists x \Big[R(x)\Big]$ เป็น $F$

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก[/STEP]

ตัวเลือก $A$ $$\forall x \Big[P(x)\Big] \rightarrow \forall x \Big[Q(x)\Big] \equiv F \rightarrow T \equiv T$$

ตัวเลือก $B$

พิจารณา $\forall x \Big[P(x) \rightarrow Q(x)\Big]$

ไม่ว่า $x$ จะเป็นเท่าใด เราได้ว่า $Q(x)$ เป็น $T$ เสมอ แสดงว่า $$P(x) \rightarrow Q(x) \equiv P(x) \rightarrow T \equiv T$$

สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $\forall x \Big[P(x) \rightarrow Q(x)\Big]$ เป็น $T$

$$\forall \Big[P(x) \rightarrow Q(x)\Big] \rightarrow \exists x \Big[R(x)\Big] \equiv T \rightarrow F \equiv F$$

ตัวเลือก $C$

เนื่องจาก $\forall x [\sim R(x)] \equiv \sim \exists x [R(x)]$

เราทราบว่า $\exists x \Big[R(x)\Big]$ เป็น $F$ ดังนั้น $\sim \exists x \Big[R(x)\Big]$ เป็น $T$

$$\forall x \Big[Q(x)\Big] \leftrightarrow \forall x \Big[\sim R(x)\Big] \equiv T \leftrightarrow T \equiv T$$

ตัวเลือก $D$ $$\exists x \Big[R(x)\Big] \rightarrow \exists x \Big[P(x)\Big] \equiv F \rightarrow T \equiv T$$

ตัวเลือก $E$

พิจารณา $\exists x [Q(x) \rightarrow P(x)]$

จะเห็นว่า มี $x = 3$ และ $x = 4$ ที่ทำให้ $Q(x) \rightarrow P(x)$ เป็น $T$ ดังนั้น $\exists x [Q(x) \rightarrow P(x)]$ เป็น $T$

$$\exists x \Big[Q(x) \rightarrow P(x)\Big] \vee \forall x \Big[Q(x)\Big] \equiv T \vee T \equiv T$$

[ANS]$\forall \Big[P(x) \rightarrow Q(x)\Big] \rightarrow \exists x \Big[R(x)\Big]$[/ANS]

เมื่อเอกภพสัมพัทธ์มีสมาชิกไม่เยอะ เราใช้วิธีการแทนค่าเพื่อหาคำตอบจะเร็วกว่าแก้สมการ/อสมการตรงๆ มากครับ

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง ค่าความจริงของประพจน์หลายตัวเชื่อม