กำหนด $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัส มีมิติ $3 \times 3$ โดย

$\displaystyle A = \left[ \begin{matrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{matrix} \right]$ และ $\displaystyle B = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ca & ab \end{matrix} \right]$

เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน

ค่าของ $\det(B)$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\det(A)$ โดยใช้สมบัติ $\det$[/STEP]

จาก

$$\displaystyle \det(A) = \left| \begin{matrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{matrix} \right|$$

เราจัดรูปโดยการคูณ $\dfrac{1}{abc}$ เข้าไปทั้ง $2$ ข้าง

$$\displaystyle \frac{1}{abc} \cdot \det(A) = \frac{1}{abc} \left| \begin{matrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{matrix} \right|$$

กระจาย $\dfrac{1}{a} , \dfrac{1}{b}$ และ $\dfrac{1}{c}$ เข้าไปในแถวที่ $1, 2$ และ $3$ ตามลำดับ

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{abc} \cdot \det(A) &=& \left| \begin{matrix} 1 & a & \frac{1}{a} \\ 1 & b & \frac{1}{b} \\ 1 & c & \frac{1}{c} \end{matrix} \right|
\end{eqnarray*}

ทรานสโพสเมทริกซ์ด้านขวา โดยสมบัติ $\det$ จะไม่เปลี่ยน

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{abc} \cdot \det(A) &=& \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \end{matrix} \right|
\end{eqnarray*}

จากนั้น เราคูณด้วย $abc$ ทั้ง $2$ ข้าง แล้วกระจายเข้าไปในแถวที่ $3$

\begin{eqnarray*}
abc \cdot \frac{1}{abc} \cdot \det(A) &=& abc \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \end{matrix} \right|\\
\det(A) &=& \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ca & ab \end{matrix} \right|\\
&=& \det(B)
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $\det(B) = \det(A)$

[ANS]$\det(A)$[/ANS]

ข้อนี้ถ้าเราลองหาดีเทอร์มิแนนต์ตรงๆ จะได้ว่า

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 16 det(B)

\begin{eqnarray*}
\det(B) &=& (ab^2 + bc^2 + ca^2) - (cb^2 + ac^2 + ba^2)
\end{eqnarray*}

และ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 16 det(A)

\begin{eqnarray*}
\det(A) &=& (ab^2 + ca^2 + bc^2) - (cb^2 + ac^2 + ba^2)\\
&=& (ab^2 + bc^2 + ca^2) - (cb^2 + ac^2 + ba^2)\\
&=& \det(B)
\end{eqnarray*}

ก็สามารถตอบคำถามได้เลย

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์