กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีแดงเหมือนกัน $4$ ลูก และมีลูกแก้วสีน้ำเงินเหมือนกันจำนวนหนึ่ง สุ่มหยิบลูกแก้ว $1$ ลูก จากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีน้ำเงินเป็นสองเท่าของความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีแดง ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้ว $2$ ลูก จากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วเหมือนกันทั้งสองลูกตรงกับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจำนวนลูกแก้วสีน้ำเงิน[/STEP]

สมมติให้มีลูกแก้วสีน้ำเงินเหมือนกัน $x$ ลูก

ความน่าจะเป็นที่หยิบลูกแก้ว $1$ ลูก แล้วได้สีน้ำเงิน เท่ากับ $\displaystyle \frac{x}{x+4}$

ความน่าจะเป็นที่หยิบลูกแก้ว $1$ ลูก แล้วได้สีแดง เท่ากับ $\displaystyle \frac{4}{x+4}$

โจทย์กำหนดว่า ความน่าจะเป็นที่ได้สีน้ำเงินเป็นสองเท่าของสีแดง ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{x}{x+4} &=& 2 \left( \frac{4}{x+4} \right)\\
\frac{x}{\cancel{x+4}} &=& 2 \left( \frac{4}{\cancel{x+4}} \right)\\
x &=& 8
\end{eqnarray*}

แสดงว่ามีลูกแก้วสีน้ำเงิน $8$ ลูก

[STEP]หาความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบ $2$ ลูก ได้สีเดียวกัน[/STEP]

หาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

มีลูกแก้วทั้งหมด $12$ ลูก หยิบ $2$ จะได้ $$\displaystyle n(S) = \left( \begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix} \right) = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$$

หาจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด

กรณีที่ 1: ได้สีแดง

มีสีแดง $4$ ลูก สุ่มหยิบ $2$ ลูก จะได้

$$\displaystyle \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$$

กรณีที่ 2: ได้สีน้ำเงิน

มีสีน้ำเงิน $8$ ลูก สุ่มหยิบ $2$ ลูก จะได้

$$\displaystyle \left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$$

ดังนั้น $$n(E) = 6 + 28 = 34$$

ความน่าจะเป็นเท่ากับ $$\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{34}{66} = \frac{17}{33}$$

[ANS]$\dfrac{17}{33}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม ความน่าจะเป็น