กำหนดให้ $P = 4x + 5y$ เป็นสมการจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้

$x + 2y \geq 10$
$x + y \geq 6$
$3x + y \geq 8$
$x \geq 0$ และ $y \geq 0$

ค่าน้อยสุดของ $P$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดกราฟของ $x+2y \geq 10$[/STEP]

วาดกราฟของ $x+2y = 10$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y = 0$

\begin{eqnarray*}
x + 2(0) &=& 10\\
x &=& 10
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $X$ ที่จุด $(10, 0)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x = 0$

\begin{eqnarray*}
0 + 2y &=& 10\\
2y &=& 10\\
y &=& 5
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, 5)$

ตรวจสอบจุด $(0,0)$ แทนค่าในอสมการ จะได้ว่า $$0 + 2(0) \geq 10$$

เป็นเท็จ ดังนั้น จะได้กราฟ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 14 กราฟ 1

[STEP]วาดกราฟ $x + y \geq 6$[/STEP]

วาดกราฟของ $x+y = 6$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y = 0$

\begin{eqnarray*}
x + 0 &=& 6\\
x &=& 6
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $X$ ที่จุด $(6, 0)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x = 0$

\begin{eqnarray*}
0 + y &=& 6\\
y &=& 6
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, 6)$

ตรวจสอบจุด $(0, 0)$ แทนค่าในอสมการ จะได้ว่า $$0 + 0 \geq 6$$

เป็นเท็จ ดังนั้น จะได้กราฟ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 14 กราฟ 2

[STEP]วาดกราฟ $3x+y \geq 8$[/STEP]

วาดกราฟของ $3x+y = 8$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y = 0$

\begin{eqnarray*}
3x + 0 &=& 8\\
3x &=& 8\\
x &=& \frac83
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $X$ ที่จุด $\displaystyle \left(\frac83, 0\right)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x = 0$

\begin{eqnarray*}
3(0) + y &=& 8\\
0+y &=& 8\\
y &=& 8
\end{eqnarray*}

ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, 8)$

ตรวจสอบจุด $(0, 0)$ แทนค่าในอสมการ จะได้ว่า $$3(0) + 0 \geq 8$$

เป็นเท็จ ดังนั้น จะได้กราฟ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 14 กราฟ 3

[STEP]วาดทุกกราฟบนระบบพิกัดฉากเดียวกัน[/STEP]

เมื่อนำกราฟทั้ง $3$ มาวาดในระบบพิกัดฉากเดียวกัน รวมกับเงื่อไข $x, y \geq 0$ แล้ว จะได้พื้นที่คือ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 14 กราฟ 4

ซึ่งเราต้องหาจุดตัดอีก $2$ จุด คือ จุดตัดของกราฟเส้นสีเขียวกับสีส้ม และจุดตัดของกราฟเส้นสีฟ้ากับสีเขียว

[STEP]หาจุดตัดของกราฟเส้นสีเขียวกับสีส้ม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x+y &=& 6 &----& (1)\\
3x+y &=& 8 &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
(3x+y) - (x+y) &=& 8-6\\
2x &=& 2\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(1)$\

\begin{eqnarray*}
1 + y &=& 6\\
y &=& 5
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จุดตัดมีพิกัด $(1, 5)$

[STEP]หาจุดตัดของกราฟเส้นสีฟ้ากับสีเขียว[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x+2y &=& 10 &----& (3)\\
x+y &=& 6 &----& (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(3) - (4)$

\begin{eqnarray*}
(x+2y) - (x+y) &=& 10 - 6\\
y &=& 4
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(4)$

\begin{eqnarray*}
x + 4 &=& 6\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จุดตัดมีพิกัด $(2, 4)$

[STEP]หาค่าน้อยสุดของ $P$[/STEP]

เราได้จุดมุมของพื้นที่คือ

PAT1 ต.ค. 59 ข้อ 14 กราฟ 5

แทนค่าใน $P$ เพื่อหาค่าน้อยสุด

$(x, y)$ $P = 4x+5y$
$(0, 8)$ $P = 4(0) + 5(8) = 40$
$(1, 5)$ $P = 4(1) + 5(5) = 29$
$(2, 4)$ $P = 4(2) + 5(4) = 28$
$(10, 0)$ $P = 4(10) + 5(0) = 40$

 

ดังนั้น ค่าน้อยสุดของ $P$ คือ $28$

[ANS]$28.0$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาคำตอบของปัญหากำหนดการเชิงเส้น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การวาดกราฟของอสมการเชิงเส้น