,

เราจะตรวจสอบโดยการสมมติให้ประพจน์เป็นเท็จ

การเชื่อมด้วย ถ้า... แล้ว จะเป็นเท็จได้กรณีเดียวคือหน้า $T$ หลัง $F$ ดังนั้น

เช่นเดียวกันกับ $F$ ทางขวามือ เป็นไปได้แค่กรณีเดียวอีก จึงได้ว่า

ตอนนี้เราทราบแล้วว่า $p$ มีค่าความจริงเป็น $T$ และ $q$ มีค่าความจริงเป็น $F$ จึงนำมาแทนค่า

จะเห็นว่า $(p \rightarrow q)$ เกิดข้อขัดแย้งขึ้น คือ $T \rightarrow F$ แล้วได้ $T$ ซึ่งผิด

แสดงว่าประพจน์นี้ไม่สามารถเป็น $F$ ได้ จึงเป็นสัจนิรันดร์

ข้อ ก. ถูกต้อง

,

ประพจน์ในข้อนี้เชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ หากเราใช้วิธีการสมมติให้เป็น $F$ จะต้องทำ $2$ กรณี ซึ่งเสียเวลามาก

ดังนั้น เราจึงเลือกใช้อีกวิธีหนึ่งคือตรวจสอบว่า ประพจน์ทั้ง $2$ ข้าง ของ $\leftrightarrow$ สมมูลกันหรือไม่ หากสมมูลก็จะเป็นสัจนิรันดร์

จัดรูปประพจน์ทางขวามือ

\begin{eqnarray*}
\Big(p \wedge (q \rightarrow p)\Big) \rightarrow q &\equiv& \Big(p \wedge (\sim q \vee p)\Big) \rightarrow q\\
&\equiv& \Big[(p \wedge \sim q) \vee (p \wedge p)\Big] \rightarrow q
\end{eqnarray*}

$p \wedge p$ นั้นสามารถรวบเหลือแค่ $p$ ได้

\begin{eqnarray*}
\Big(p \wedge (q \rightarrow p)\Big) \rightarrow q  &\equiv& \Big[(p \wedge \sim q) \vee p\Big] \rightarrow q
\end{eqnarray*}

สังเกตว่า ประพจน์ในวงเล็บใหญ่มีค่าความจริงขึ้นอยู่กับ $p$ เท่านั้น ดังนี้

แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
\Big(p \wedge (q \rightarrow p)\Big) \rightarrow q  &\equiv& p \rightarrow q
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $$p \not\equiv p \rightarrow q$$

แสดงว่า $p \leftrightarrow \Bigg[\Big(p \wedge (q \rightarrow p)\Big) \rightarrow q\Bigg]$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ข้อ ข. ถูกต้อง

,

จาก $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ เป็นจริง เราได้ว่า

ซึ่งเราทราบแค่เพียงว่า $p \rightarrow q$ กับ $1 \rightarrow p$ เป็นจริงเท่านั้น แต่ไม่ทราบว่า $p$ กับ $q$ มีค่าความจริงเช่นไร

เมื่อพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ $\Big[p \rightarrow (p \rightarrow q)\Big] \rightarrow (p \wedge q)$

การเชื่อมด้วย ถ้า... แล้ว หากประพจน์หลังเป็น $T$ ไม่ว่าประพจน์หน้ามีค่าความจริงเป็นอะไรก็จะเชื่อมกันได้ $T$ เสมอ

จากผลลัพธ์ที่ได้ จะเห็นว่าประพจน์หน้า (วงเล็บใหญ่) มีค่าความจริงเป็น $T$

ซึ่งการเชื่อมด้วย ถ้า... แล้ว หากประพจน์หน้าเป็น $T$ เวลาเชื่อมกันค่าความจริงจะขึ้นอยู่กับประพจน์หลัง

ในกรณีนี้เราจึงได้ว่าค่าความจริงขึ้นอยู่กับ $(p \wedge q)$ แต่เราไม่ทราบว่า $p$ กับ $q$ มีค่าความจริงเช่นไร จึงไม่ทราบค่าความจริงของ $(p \wedge q)$ เช่นกัน

ดังนั้นการบอกว่าประพจน์นี้เป็นเท็จจึงไม่ถูกต้อง

ข้อ ค. ผิด