ให้ $x_{1}, x_{2}$, $x_{3}$, $...$, $x_{10}$ เป็นข้อมูลที่เรียงค่าจากน้อยไปหามากโดยมีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ $15$ และให้ $y_{i} =\dfrac{1}{2} \left( x_i + x_{i+1} \right)$ สำหรับ $i=1,2,\cdots,9$

ถ้า $y_1,y_2,\cdots,y_9$ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $\dfrac{55}{3}$ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_{1} + 1 ,x_{2} + 2$, $x_{3} + 3$, $...$, $x_{10} + 10$  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

 

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]หาผลรวม $x_1+ x_2+x_3+\cdots+x_{10}$[/step]

จากค่ากึ่งกลางพิสัยของข้อมูล $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{10}$ คำนวณได้จาก 

$$\frac{x_1+x_{10}}{2} = 15\qquad \cdots (1)$$

ดังนั้น

$$x_1 + x_{10} = 30 \qquad \cdots (2)$$

และโจทย์กำหนด

\begin{eqnarray*}
y_1 &=& \frac12 \left( x_1 + x_2 \right) \\
y_2 &=& \frac12 \left( x_2 + x_3 \right) \\
y_3 &=& \frac12 \left( x_3 + x_4 \right) \\
&\vdots& \\
y_9 &=& \frac12 \left( x_9 + x_{10} \right) \\
\end{eqnarray*}

โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

$$\frac{y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_9}{9} = \frac{55}{3}$$

นั่น คือ $y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_9 = \dfrac{55}{3} \times 9 = 165$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
165 &=& y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_9 \\
&=& \frac12 \left( x_1 + x_2 \right) + \frac12 \left( x_2 + x_3 \right) + \cdots + \frac12 \left( x_9 + x_{10} \right) \\
&=& \frac12 \left[ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + \cdots + 2x_9 + x_{10} \right] \\
&=& \left( \frac{x_1 + x_{10} }{2} \right) + \frac{1}{\cancel{2}} \left( \cancel{2} \left( x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_9 \right) \right) \\
&=& 15 + \left( x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_9 \right)\qquad \text{จาก }(1)
\end{eqnarray*}

ทำให้

$$x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_9 = 165 - 15 = 150 \qquad \cdots (3)$$

จาก $(2)$ และ $(3)$

\begin{eqnarray*}
\left( x_1 + x_{10} \right) + \left( x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_9 \right)  &=& 30 + 150  \\
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_{10} &=& 180\qquad \cdots (4)
\end{eqnarray*}

[step]คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_1+1,x_2+2,\cdots,x_{10}+10$[/step]

แยกพจน์ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{10}$ ออกจาก $1,2,3,\cdots,10$ ตอนคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\displaystyle\frac{\left(x_1 + 1 \right) + \left( x_2 + 2 \right) + \left( x_3 + 3 \right) + \cdots + \left( x_{10} + 10  \right)}{10}$

\begin{eqnarray*}
 &=& \frac{x_1+x_2+x_3 + \cdots + x_{10}}{10} + \frac{1+2+3+ \cdots + 10}{10} \\
&=& \frac{180}{10} + \frac{55}{10} \\
&=& \frac{235}{10} \\
&=& 23.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$23.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต