,

ในที่นี้ คือ ทำให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังฐาน $2$

จากโจทย์กำหนด

$$4^x - 4\left( 4^{\sqrt{x}} \right) = 3 \left( 2^{ x+\sqrt{x}} \right)$$

จะได้

$$2^{2x} - 4 \cdot 2^{ 2 \sqrt{x} } = 3 \left( 2^x \right) \left( 2^{ \sqrt{x}} \right)$$

,

กำหนดให้ $2^x = A$ และ $2^{\sqrt{x}} = B$ (หมายเหตุ $2^x \neq \left( 2^{\sqrt{x}}\right)^2$ เราจึงไม่สามารถใช้ตัวแปรเดียวได้)

เราจะได้ 

\begin{eqnarray*}
A^2 - 4B^2 &=& 3AB\\
A^2 - 3AB -4B^2 &=&0 \\
(A-4B)(A+B) &=& 0
\end{eqnarray*}

จึงได้ $A-4B = 0$ หรือ $A+B=0$

กรณี $A-4B =0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A &=& 4B\\
2^x &=& 4\cdot 2^{\sqrt{x}}\\
2^x &=& 2^{\sqrt{x}+2}
\end{eqnarray*}

ทำให้ได้ว่าสำหรับ $x\geq 0$

\begin{eqnarray*}
x &=& \sqrt{x} + 2\\
x-2 &=& \sqrt{x}\\
(x-2)^2 &=& (\sqrt{x})^2\\
x^2-4x+4 &=&x\\
x^2-5x+4 &=& 0\\
(x-4)(x-1) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $x=4$ หรือ $x=1$

ถ้า $x=1$ จะไม่สอดคล้องกับสมการ $x-2=\sqrt{x}$ เพราะเมื่อแทนค่าแล้วจะได้ $(1)-2 = \sqrt{1}$ ซึ่งได้ $-1 = 1$ ไม่เป็นจริง แต่ถ้าหากยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้เป็นคำตอบด้วย ดังนั้น $x=1$ ไม่ใช่คำตอบของกรณีนี้

ส่วนกรณี $x=4$ สอดคล้องกับทุกสมการข้างต้น จึงได้ $x=4$ เป็นคำตอบ

กรณี $A+B=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A &=& -B\\
2^x &=& -2^{\sqrt{x}}
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ $2^x>0$ ทุกจำนวนจริง $x$ ส่วน $-2^{\sqrt{x}}<0$ ทุกจำนวนจริง $x$ จึงไม่มีทางเท่ากันได้ กรณีนี้จึงไม่มีคำตอบเพิ่ม

จึงได้เซตคำตอบเป็น $A= \left\{ 4 \right\}$

ผลบวกของสมาชิกใน $A$ จึงเท่ากับ $4$