ค่าของ $2 \left(\arctan \frac{1}{8} - \arctan \frac{2}{3} \right)$   ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เลือกเอกลักษณ์[/STEP]

จากโจทย์  เราเลือกลักษณ์ตรีโกณมิติที่เหมาะสมมาใช้

นั้นคือ  $\arctan(x) - \arctan(y)=\arctan \left(\dfrac{x-y}{1+xy} \right)$ 

ดังนั้น  ถ้าเราให้ $\theta=\arctan \left (\dfrac{1}{8} \right) - \arctan \left(\dfrac{2}{3} \right) $

จะได้  

\begin{eqnarray}
\theta&=&\arctan \left(\frac{\frac{1}{8}-\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}}\right)\\
&=&\arctan \left(\frac{\frac{-13}{24}}{\frac{26}{24}} \right)\\
&=&\arctan \left(- \frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray}

[STEP]วาดรูปตามค่า $\theta$ ที่ได้ให้สอดคล้องกับสี่เหลื่ยมมุมฉาก[/STEP]

จากนั้นวาดรูปสามเหลื่ยมมุมฉากที่สอดคล้องกับค่า  $\theta$ โดยพิจารณาจาก $\theta = \arctan \left( -\frac12 \right)$ ดังนั้น $\tan \theta = \dfrac{-1}{2}$                                                       

เมื่ออ่านค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม $\theta$ จะได้ $\tan{\theta}=-\dfrac{1}{2}$, $\sin\theta =\dfrac{-1}{\sqrt5}$ และ $\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt5}$

แต่โจทย์  สนใจ  $2 \left(\arctan \dfrac{1}{8} - \arctan \dfrac{2}{3} \right)$  ซึ่งก็คือ  มุม $2\theta$

ดังนั้นเราจึงลองคำนวณค่าไซน์ของ $2\theta$ จะได้

\begin{eqnarray}
\sin(2\theta)&=& 2\sin{\theta}\cos{\theta}\\
&=&2 \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{2}{\sqrt{5}} \right)\\
&=&-\frac{4}{5}
\end{eqnarray}

ซึ่งจะได้ว่า $\sin2\theta = -\frac45$ หรือ $2\theta = \arcsin \left( -\frac45 \right)$ นั่นเอง

[STEP]หาสิ่งที่โจทย์ต้องการ[/STEP]

จึงได้ว่า  
\begin{eqnarray}
2 \left (\arctan\frac{1}{8}-\arctan\frac{2}{3} \right)&=&2\theta\\
&=&\arcsin \left(-\frac{4}{5} \right)\\
&=&-\arcsin \left(\frac{4}{5} \right)
\end{eqnarray}

[ANS]$-\arcsin\frac{4}{5}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ