กำหนดให้ $f(x) = 2x+5$ และ $g(x) = ax^2 + bx+c$ เมื่อ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $\left(f ^{-1 }\circ g\right)(0)=2$, $\displaystyle\int^1_1 f^{-1 } \left(g ( x )\right) dx = 1$, $\left((f ^{-1 }\circ g \right)(0)$  มีค่าต่ำสุดสัมพันธ์ที่ $x=1$ แล้วค่าของ $g(1)$ เท่ากับเท่าใด

 

 

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]หา $f^{-1}(x)$ และ $\frac{d}{dx} f^{-1}(x)$[/step]

จากโจทย์กำหนด

$$f(x) = 2x+5,\qquad g(x) = ax^2+bx+c$$

หา $f^{-1}(x)$ โดยการสลับตัวแปร $f(x)=2x+5$ ไปเป็น $x=2y+5$ แล้วหาค่า $y$ ในเทอมของ $x$ ซึ่งจะได้ $f^{-}(x)$ พอดี

\begin{eqnarray*}
x &=& 2y+5\\
x-5 &=& 2y\\
\frac{x-5}{2} &=& y
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f^{-1}(x) = \dfrac{x-5}{2}$

คำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ $f^{-1}(x)$

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} \frac{x-5}{2} &=& \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - \frac{5}{2} \right)\\
&=& \frac{d}{dx} \frac{x}{2} - \frac{d}{dx} \frac52\\
&=& \frac12 - 0\\
&=& \frac12
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\dfrac{d}{dx} f^{-1}(x) = \dfrac12$ ทุกค่า $x$

[step]หาค่า $c$[/step]

จากโจทย์กำหนด $f^{-1} \circ g(0) =2$ ซึ่งมีความหมายเดียวกับ $f^{-1} \left( g(0) \right) = 2$ จะเห็นว่ามีพจน์ $g(0)$ ที่สามารถคำนวณได้จากการแทนค่า $x=0$ ลงในฟังก์ชัน $g(x)$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
g(0) &=& a(0)^2 +b(0) + c\\
&=& c
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงทราบว่า $g(0) = c$ ซึ่งสามารถแทนค่าลงใน $f^{-1}(x)$ ที่ได้จากขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
f^{-1} \left( g(0) \right) &=& 2\\
f^{-1} \left( c \right) &=& 2\\
\dfrac{(c) -5}{2} &=& 2\\
c-5 &=& 4\\
c &=& 9
\end{eqnarray*}

เราจึงทราบค่าของ $c=9$ ดังนั้น $g(x) = ax^2+bx+9$

[step]สร้างสมการเชิงเส้นในรูปตัวแปร $a,b$ โดยใช้ข้อมูลอินทิกรัล[/step]

จากโจทย์กำหนด $1=\displaystyle \int_0^1 f^{-1} \left( g(x) \right) dx$ เราจะคำนวณ $f^{-1} \left(g(x) \right)$ จากการแทนค่า $g(x)$ ลงในฟังก์ชัน $g(x)=ax^2+bx+9$

\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( g(x) \right) &=& f^{-1} \left( ax^2+bx+9 \right)\\
&=& \frac{\left( ax^2+bx+9 \right)-5}{2}\\
&=& \frac{ax^2+bx+4}{2}
&=& \frac{a}{2} \cdot x^2 +\frac{b}{2}\cdot x + 2
\end{eqnarray*}

นำ $f^{-1}\left( g(x) \right)$ ที่ได้มาคำนวณอินทิกรัลจาก $x=0$ ถึง $x=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1 &=& \int_0^1 f^{-1} \left( g(x) \right) dx\\
1 &=& \int_0^1 \left(  \frac{a}{2} \cdot x^2 +\frac{b}{2}\cdot x + 2 \right) dx\\
1 &=& \left. \left( \frac{a}{2\cdot 3} x^3 + \frac{b}{2\cdot 2} x^2 + 2 x \right)\right|_0^1\\
1 &=& \left( \frac{a}{6} \cdot (1)^3 + \frac{b}{4} \cdot (1)^2 + 2 \cdot (1) \right) - \left( \frac{a}{6} \cdot (0)^3 + \frac{b}{4} \cdot (0)^2 + 2(0) \right)\\
1 &=& \frac{a}{6} + \frac{b}{4} + 2
\end{eqnarray*}

จัดรูปให้อยู่ในรูปเชิงเส้นที่ไม่มีสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน โดยการคูณ $12$ ตลอด

\begin{eqnarray*}
12(1) &=& 2a + 3b+24\\
12 - 24 &=& 2a+3b\\
-12 &=& 2a+3b \qquad \cdots(2)
\end{eqnarray*}

[step]สร้างสมการเชิงเส้นในรูปตัวแปร $a,b$ โดยใช้ข้อมูลค่าต่ำสุดสัมพัทธ์[/step]

จากโจทย์กำหนด $\dfrac{d}{dx} \left( f^{-1} \circ g(x) \right) = 0$ เมื่อ $x=1$ จะได้ (โดยกฎลูกโซ่)

$$\left.\dfrac{d}{dx} \left( (f^{-1} (x) \right)\right|_{x=g(1)} \cdot g'(1) $$

แต่จากขั้นตอนแรกเราทราบแล้วว่า ไม่ว่า $x$ จะมีค่าเท่าใดก็ตาม เราจะมี $\dfrac{d}{dx} f^{-1} (x) = \dfrac12$ เสมอ และนอกจากนั้นเรายังคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $g(x)$ ได้โดยง่ายดังนี้

$$g'(x)=\frac{d}{dx} \left( ax^2 + bx + 9 \right) = 2ax + b$$

ดังนั้น

$$g'(1) = 2a(1)+b = 2a+b$$

เมื่อแทนค่าอนุพันธ์ของ $f^{-1}\left( g(1) \right) $ ที่ $x=g(1)$ และแทนค่า $g'(1) = 2a+b$ ลงไปแล้วจะได้

\begin{eqnarray*}
\left.\dfrac{d}{dx} \left( (f^{-1} (x) \right)\right|_{x=g(1)} \cdot g'(1) &=& 0\\
\left( \frac12 \right) \cdot \left( 2a+b \right) &=& 0\\
2a+b &=& 0\qquad \cdots(3)
\end{eqnarray*}

[step]แก้ระบบสมการเชิงเส้นหาค่า $a$ และ $b$ และคำนวณ $a+b+c$[/step]

จากสมการ $(2)$ และ $(3)$ 

\begin{eqnarray*}
2a+3b &=& -12\qquad\cdots (2)\\
2a+b &=& 0\qquad\cdots (3)
\end{eqnarray*}

นำ $(2) - (3)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a-2a +3b-b &=& -12 - 0\\
2b &=& -12\\
b &=& -6
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่า $b=-6$ ลงใน $(2)$ หรือ $(3)$ ก็ได้ $a=3$ ซึ่งเมื่อนำค่าของ $a,b$ และ $c=9$ จากขั้นตอนที่แล้วมาแทนค่า ก็จะได้

$$a+b+c = 3 +(-6) + 9 = 6$$

[ANS]$6$[/ANS]
 

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์