,

จากสมบัติของ $\log_b a = \dfrac{\log a}{ \log b}$ จัดรูปอสมการที่โจทย์กำหนดให้

$$\begin{eqnarray*} \log_2 x + \log_3 x & \geq & \left(\log_2 x \right) \left( \log_3 x \right)\\ \frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 3} &\geq& \frac{\log x}{\log 2} \cdot \frac{\log x}{\log 3}\\ \frac{\log x}{\log 2}\cdot \frac{log 3}{\log 3} + \frac{\log x}{\log 3}\cdot \frac{log 2}{\log 2} &\geq& \frac{\log x}{\log 2} \cdot \frac{\log x}{\log 3}\\ \frac{\left( \log 3 \right) \left(\log x \right) + \left( \log 2\right) \left( \log x \right) }{\left(\log 2\right) \left(\log 3 \right)} &\geq& \frac{\left(\log x\right)^2}{\left(\log 2\right) \left( \log 3 \right)}  \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\log 2 >0$ และ $\log 3>0$ ทำให้ $\left(\log 2 \right) \left(\log 3 \right) >0$ 

ดังนั้นเราสามารถนำ $\left( \log2\right) \left( \log3\right)$ คูณตลอดอสมการข้างต้นได้ โดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมายอสมการ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left( \log x \right) \left( \log 3 \right) + \left( \log x \right) \left( \log 2 \right) &\geq& \left( \log x \right)^2\\ \left( \log x \right) \left( \log 3 + \log 2 \right) &\geq & \left( \log x \right)^2\\ \left( \log x \right) \left( \log 6 \right) &\geq & \left( \log x \right)^2 \end{eqnarray*}$$

หมายเหตุ ห้ามตัด $\log x$ ออกจาก $2$ ข้างของอสมการเนื่องจากเราไม่ทราบว่า $\log x > 0$ หรือ $\log x < 0$  กันแน่

กำหนดตัวแปรให้ $\log x = t$ แล้วพิจารณา

$$\begin{eqnarray*} t\left( \log 6 \right) &\geq& t^2\\ 0 &\geq& t^2 -t\left( \log 6 \right)\\ 0 & \geq& t \left( t- \log6 \right) \end{eqnarray*}$$

จากวิธีแก้อสมการ เราพบว่า

 ดังนั้น $0\leq t \leq \log 6$ นั่นคือ $0\leq \log x \leq \log 6$

จะได้ว่า เมื่อนำ $10$ มายกกำลังตลอดอสมการ (*ซึ่งสามารถทำได้ ตราบใดที่ฐานที่นำมายกกำลังมีค่ามากกว่า $1$) จะได้

$$10^0 \leq 10^{\log x} \leq 10^{\log 6}$$

จากสมบัติ $a^{\log_a x} = x$ เราจึงได้

$$1 \leq x \leq 6$$

แต่เนื่องจากเราต้องตรวจสอบโดเมนของฟังก์ชันในอสมการก่อนใช้เป็นเซตคำตอบ ซึ่งพบว่ามีเพียงเงื่อนไขเดียว คือ $x$ อยู่หลัง $\log$ จึงต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้น $x>0$ เมื่อนำมาอินเตอร์เซกกับเซต $1\leq x \leq 6$ จึงได้เซตคำตอบของอสมการเป็นเซตเดิม $\log$ คือ $\left[1 , 6 \right]$

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $A=\left[1,6\right]$ เมื่อนำมาอินเตอร์เซกกับ $\left[0,9\right]$ จะได้

$$A\cap \left[0,9\right] =  \left[1,6\right] \cap \left[0,9\right] = \left[1,6\right]$$

ดังนั้นค่าขอบล่างมากสุดของเซตนี้ คือ $a=1$ และค่าขอบบนน้อยสุดของเซตนี้ คือ $b=6$

ดังนั้น $a+b=7$