ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดของกับอสมการ

$$\log_2  x +\log_3  x \geq(\log_2  x)  (\log_ 3  x)$$

และให้ $a$ เป็นขอบเขตล่างมากที่สุดของเซต $A\cap$ $[0,9]$ และให้ $b$ เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต $A\cap [0,9]$ 

ค่าของ $a+b$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]หาเซตคำตอบของอสมการ $\log$[/step]

จากสมบัติของ $\log_b a = \dfrac{\log a}{ \log b}$ จัดรูปอสมการที่โจทย์กำหนดให้

\begin{eqnarray*}
\log_2 x + \log_3 x & \geq & \left(\log_2 x \right) \left( \log_3 x \right)\\
\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 3} &\geq& \frac{\log x}{\log 2} \cdot \frac{\log x}{\log 3}\\
\frac{\log x}{\log 2}\cdot \frac{log 3}{\log 3} + \frac{\log x}{\log 3}\cdot \frac{log 2}{\log 2} &\geq& \frac{\log x}{\log 2} \cdot \frac{\log x}{\log 3}\\
\frac{\left( \log 3 \right) \left(\log x \right) + \left( \log 2\right) \left( \log x \right) }{\left(\log 2\right) \left(\log 3 \right)} &\geq& \frac{\left(\log x\right)^2}{\left(\log 2\right) \left( \log 3 \right)} 
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\log 2 >0$ และ $\log 3>0$ ทำให้ $\left(\log 2 \right) \left(\log 3 \right) >0 $ 

ดังนั้นเราสามารถนำ $\left( \log2\right) \left( \log3\right)$ คูณตลอดอสมการข้างต้นได้ โดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมายอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left( \log x \right) \left( \log 3 \right) + \left( \log x \right) \left( \log 2 \right) &\geq& \left( \log x \right)^2\\
\left( \log x \right) \left( \log 3 + \log 2 \right) &\geq & \left( \log x \right)^2\\
\left( \log x \right) \left( \log 6 \right) &\geq & \left( \log x \right)^2
\end{eqnarray*}

หมายเหตุ ห้ามตัด $\log x$ ออกจาก $2$ ข้างของอสมการเนื่องจากเราไม่ทราบว่า $\log x > 0$ หรือ $\log x < 0$  กันแน่

กำหนดตัวแปรให้ $\log x = t$ แล้วพิจารณา

\begin{eqnarray*}
t\left( \log 6 \right) &\geq& t^2\\
0 &\geq& t^2 -t\left( \log 6 \right)\\
0 & \geq& t \left( t- \log6 \right)
\end{eqnarray*}

จากวิธีแก้อสมการ เราพบว่า

 ดังนั้น $0\leq t \leq \log 6$ นั่นคือ $0\leq \log x \leq \log 6$

จะได้ว่า เมื่อนำ $10$ มายกกำลังตลอดอสมการ (*ซึ่งสามารถทำได้ ตราบใดที่ฐานที่นำมายกกำลังมีค่ามากกว่า $1$) จะได้

$$10^0 \leq 10^{\log x} \leq 10^{\log 6}$$

จากสมบัติ $a^{\log_a x} = x$ เราจึงได้

$$1 \leq x \leq 6$$

แต่เนื่องจากเราต้องตรวจสอบโดเมนของฟังก์ชันในอสมการก่อนใช้เป็นเซตคำตอบ ซึ่งพบว่ามีเพียงเงื่อนไขเดียว คือ $x$ อยู่หลัง $\log$ จึงต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้น $x>0$ เมื่อนำมาอินเตอร์เซกกับเซต $1\leq x \leq 6$ จึงได้เซตคำตอบของอสมการเป็นเซตเดิม $\log$ คือ $\left[1 , 6 \right]$

[step]คำนวณค่า $a,b$ และ $a+b$ ตามลำดับ[/step]

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $A=\left[1,6\right]$ เมื่อนำมาอินเตอร์เซกกับ $\left[0,9\right]$ จะได้

$$A\cap \left[0,9\right] =  \left[1,6\right] \cap \left[0,9\right] = \left[1,6\right]$$

ดังนั้นค่าขอบล่างมากสุดของเซตนี้ คือ $a=1$ และค่าขอบบนน้อยสุดของเซตนี้ คือ $b=6$

ดังนั้น $a+b=7$

[ANS]$7$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการลอการิทึม ระบบจำนวนจริง