กำหนดให้ $p,q$ และ $r$ เป็นประพจณ์โดยที่ $[p \rightarrow (q\rightarrow \sim r)] \wedge q$ มีค่าความจริงเป็น จริง

ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็น เท็จ 

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP] เปลี่ยนประพจน์ให้อยู่ในรูป $\wedge , \vee $ เพื่อหาค่าความจริงประพจน์ย่อยๆ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray}
[p\rightarrow (q\rightarrow \sim r)] \wedge q &\equiv & (\sim p \vee (\sim q \vee \sim r ))\wedge q\\
&\equiv& \sim (p\wedge q \wedge r)\wedge q
\end{eqnarray}

จะเห็นว่ามีพจน์ $q$ อยู่ด้านนอกซึ่งซ้ำกับ $q$ ในวงเล็บ เราจึงแยก $q$ ออกจากกลุ่มในวงเล็บ แล้วกระจาย $\sim $ เข้าไป ก่อนกระจาย $q$ ด้านขวาตามไป

\begin{eqnarray*}
\sim\left[ (p\wedge q \wedge r \right] \wedge q  &\equiv & \sim \left[ (p \wedge r) \wedge q \right] \wedge q \\
&\equiv& \left[ \sim (p\wedge r) \vee \sim q \right] \wedge q \\
& \equiv & \left[ \sim ( p\wedge r) \wedge q \right] \vee \left[\cancelto{F}{\sim q \wedge q} \right] \\
& \equiv & \left[ \sim ( p\wedge r) \wedge q \right] \vee F\\
& \equiv & \sim (p\wedge r) \wedge q
\end{eqnarray*}

ซึ่งประพจน์ $\sim (p \wedge r) \wedge q$ จะต้องมีค่าความจริงเป็นจริงเช่นเดียวกับประพจน์ $\left[ p \rightarrow (q \rightarrow \sim r ) \right] \wedge q$ ดังนั้น จาก $\sim ( p \wedge r ) \wedge q \equiv T$ จะได้ว่า $\sim (p \wedge r) \equiv T$ และ $q\equiv T$

จาก $\sim (p \wedge r) \equiv T$ จะได้ $p\wedge r \equiv F$ หรือ $p \wedge r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จนั่นเอง
 

[STEP]แจกแจงกรณีเพื่อหาค่าความจริงของ $p$ และ $r$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง

จาก $p\wedge r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ เราพบว่า ค่าจริงของ $p$ และ $r$ ที่ทำให้ประพจน์นี้เป็นเท็จได้มีเพียง $3$ กรณี คือ

กรณีที่ $1$ $q\equiv T, p\equiv T, r\equiv F$

กรณีที่ $2$ $q\equiv T, p\equiv F, r\equiv T$

กรณีที่ $3$ $q\equiv T, p\equiv F, r\equiv F$

[STEP]พิจารณาตัวเลือก[/STEP]

แทนค่า $q\equiv T$ กับ $(p\wedge r)\equiv F$ ลงในช้อยส์ทั้ง $5$ เราจะได้

ช้อยส์ A 

\begin{eqnarray*}
(p\wedge q) \leftrightarrow (p\wedge r) &\equiv & (p\wedge T) \leftrightarrow F\\
&\equiv & p\leftrightarrow F
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าถ้าหาก $p\equiv F$ จะทำให้ประพจน์ช้อยส์นี้มีค่าความจริงเป็นจริงได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเท็จ ข้อนี้จึงไม่ใช้ช้อยส์ที่เป็นคำตอบ

ช้อยส์ B

\begin{eqnarray*}
(p\vee q ) \leftrightarrow (p\wedge r) &\equiv & (p\vee T) \leftrightarrow (F)\\
&\equiv& T\leftrightarrow F\\
&\equiv& F
\end{eqnarray*}

ดังนั้นช้อยส์ B เป็นคำตอบที่ถูกต้อง

ในกรณีที่ต้องการตรวจสอบช้อยส์อื่นๆ ก็ทำเช่นเดียวกัน ดังนี้

ช้อยส์ C

\begin{eqnarray*}
(p\rightarrow q ) \leftrightarrow (p\vee r) & \equiv & (p\rightarrow T) \leftrightarrow (p\vee r)\\
&\equiv & (T) \leftrightarrow (p \vee r)
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า $p \vee r$ มีโอกาสเป็น $T$ ได้ เช่นกรณีที่ $1$ หรือ กรณีที่ $2$ ดังนั้นจึงทำให้ $(T) \leftrightarrow T$ มีโอกาสเป็นจริงได้ จึงไม่ใช่คำตอบ

ช้อยส์ D

\begin{eqnarray*}
q \rightarrow (\sim p \wedge r) &\equiv & T \rightarrow (\sim p \wedge r) \\
&\equiv& \sim p \wedge r
\end{eqnarray*}

ถ้าแทนค่าความจริงในกรณีที่ $2$ จะได้ $\sim p \wedge r \equiv \sim F \wedge T \equiv T\wedge T \equiv T$ จึงมีโอกาสเป็นจริงได้ ช้อยส์นี้จึงไม่ใช่คำตอบ

ช้อยส์ E

\begin{eqnarray*}
\sim(p\wedge q) \rightarrow (q \wedge \sim r) &\equiv & \sim (p \wedge T) \rightarrow (T \wedge \sim r) \\
&\equiv & \sim (p) \rightarrow (\sim r) \\
& \equiv & r \rightarrow p
\end{eqnarray*}

หากเราแทนค่าความจริงในกรณีที่ $r\equiv F$ จะทำให้ค่าความจริงของ $r\rightarrow p$ เป็นจริงได้ ดังนั้นช้อยส์นี้ก็ไม่ใช่คำตอบเช่นกัน

[ANS]B $\quad (p\vee q)\leftrightarrow (p \wedge r)$ เป็นเท็จ[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์